第17章 勾股定理-八年级数学高频热点压轴题题型汇总（人教版）

第17章 勾股定理压轴题 一、单选题 1．（2023春·全国·八年级专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（　　） A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8 【答案】D 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可． 【详解】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键． 2．（2022秋·山东临沂·九年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是(    ) A．a B．a C．a D．a或a 【答案】D 【分析】题中没有指明该等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，可分三角形是锐角三角形和三角形是钝角三角形两种情况解答即可． 【详解】①当三角形是锐角三角形时，高与另一腰的夹角为30°，则其顶角是60°，所以该等腰三角形是等边三角形，腰是a，则底边上的高是； ②当三角形是钝角三角形时，一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的顶角的外角是60°，因而底角是30°，过顶角顶点作底边的垂线，则底边上的高是a. 故选D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决问题时注意运用分类讨论思想． 3．（2022秋·浙江·八年级期末）“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用已知条件利用SAS的三角形全等的判定定理证出△EAB≌△CAM，之后利用全等三角形的性质定理分别可得，，，然后设，继而可分别求出，，所以；易证Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），从而得，然后代入所求数据即可得的值． 【详解】解：∵在△EAB和△CAM中 ， ， ∴△EAB≌△CAM（SAS）， ∴， ∴, ∴, , 设，则，，，， ∴； ∵ 在Rt△ACB和Rt△DCG中， ， Rt△ACB≌Rt△DCG（HL）， ∴; ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识． 4．（2020秋·山东济南·八年级统考期末）如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC=45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为（   ） A．3 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE，利用SAS可证明△BAE≌△CAD，利用全等的性质证得∠BED=90°，最后根据勾股定理即可求出BD. 【详解】解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE. ∵∠DAE=90°，∠ADE=45°， ∴∠ADE=∠AED=45°， ∴AE=AD=1， ∴在Rt△ADE中，DE=， ∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，即∠CAD=∠BAE， 又∵AB=AC, ∴△BAE≌△CAD(SAS)， ∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°， ∴∠BED=90°， ∴在Rt△BED中， BD=. 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键. 5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，等边的顶点，；规定把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边的顶点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，根据等腰三角形三线合一性质，得；再根据坐标及勾股定理的性质计算，得，从而得；再根据轴对称、平移、数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】过点作交于点 ∵等边 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 第一次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即； 第二次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即； 第三次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得，即； … 当为奇数时，第次把“先沿轴翻折，再向左平移1个单位”，得 当为偶数时，第次把“先沿轴翻折，