第16章 二次根式-八年级数学高频热点压轴题题型汇总（人教版）

第16章 二次根式压轴题 一、单选题 1．（2023·全国·八年级专题练习）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值． 【详解】解： ，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①对； ∵a是 的小数部分， ∴， ∴， 故②错误； ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③对； ∵ ， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得. 故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化,解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题． 2．（2022秋·八年级课时练习）下列运算正确的是（   ） A．+ = B．3﹣2=1 C．2+=2 D．a﹣b =（a﹣b） 【答案】D 【详解】利用二次根式的加减法计算，可知： A、 + 不能合并，此选项错误；   B、3﹣2=，此选项错误； C、2+不能合并，此选项错误； D、a﹣b=（a﹣b），此选项正确． 故选D． 3．（2019春·八年级单元测试）若化简-的结果为5-2x，则x的取值范围是（    ） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【答案】B 【分析】根据完全平方公式和=|a|,先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【详解】解：原式=-=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时， 此时1-x≥0，x-4＜0， ∴（4-x）-（1-x）=3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1-x≤0，x-4≤0， ∴（4-x）-（x-1）=5-2x，符合题意， 当x≥4时， 此时x-4≥0，1-x＜0， ∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论． 4．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）当时，多项式的值为(   ). A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由原式得，得，原式变形后再将代和可得出答案. 【详解】∵， ，即， ． 原式． 【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化. 5．（2023春·八年级课时练习）化简的结果为（　　） A． B．30 C． D．30 【答案】C 【详解】先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得==， 故选C． 点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题. 6．（2023春·八年级单元测试）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 7．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数， ∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a只能等于0，代入等式得 =0， 所以有x=-y， 即：y=-x， 由于x，y，a是两两不同的实数， ∴x＞0，y＜0． 将x=-y代入原式得： 原式=． 故选B． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根