专题8.2 因式分解（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

令学利科购 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题8.2 因式分解 典例精析 【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式ax2+bx+c进行因 式分解呢？我们已经知道，(ax+c,ax+c2)=aax2+acx+acx+cc2=a,ax2+(ac+ac)x+ CiC2. 反过来，就得到：a1ax2+（a1C2十a2C1)x+C1C2=（a+c1)(a2x+c2). 我们发现，二次项的系数a分解成31a2,常数项c分解成C1C2,并且把a,a2,c,c2如图①所示摆放， 按对角线交义相乘再相加，就得到a1C2十a2C1,如果a1C2十a2C1的值正好等于a+bx+c的一次项系数b, 那么ax2+bx+c就可以分解为ax+c1(a2x+c2),其中al,cl位于图的上一行，a2,c2位于下一 行 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法” 例如，将式子x2一x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1， 把常数项一6也分解为两个因数的积，即一6=2×（一3）：然后把1,1,2，一3按图②所示的摆放，按对角线 交叉相乘再相加的方法，得到1×（一3）+1×2一1，恰好等于一次项的系数一1，于是x2-x一6就可以分解 为0x+2x-3). 请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： x2-X-6= 图① 图② 图③ 图④ 【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： (1)2x2+5x-7= (2)6x2-7xy+2y2 【探究与拓展】 对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x,y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如 二原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 图④，将a分解成m乘积作为一列，c分解成pg乘积作为第二列，f分解成水乘积作为第三列，如果mg+ 迎=b,pk+q叨=e,m冰+河=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则，则原 式=(x+沙y+j(m+9四+k),请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： (1)分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=」 (2)若关于x,y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求m 的值； (3)已知x,y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1,请写出一组符合题意的x,y的值， 【思路点拨】 【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交又图，即可： 【理解与应用】(1)利用十字相兼法，画十字交叉图，即可： (2)利用十字相乘法，画十字交叉图，即可： 【探究与拓展】(1)根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案： (2)根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解： (3)根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解， 【解题过程】 解：【阅读与思考】画十字交叉图： -3 x2-X-6=(x-3(x+2) 故答案是：(x3)(x+2): 【理解与应用】(1)画十字交叉图： .22+5x-7=(x-1)2x+7), 故答案是：(x-1(2x+7): (2)画十字交叉图： 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 3 -2 62-7y+2y2=(2x-y3x-2y), 故答案是：(2x-y(3x-2y)月 【探究与拓展】(1)画十字交叉图： .3x2+5y-2y2+x+9y-4=(x+2y-1(3x-y+4), 故答案是：(+2y-1)(3x-y+4: (2)如图， -83) -2 3(-8) 关于x,y的二元二次式x2+7y一18y2一5x+my一24可以分解成两个一次因式的积， 存在1×1=1,9×(-2)-18，(-8)×3=-24,7=1×(-2+1×9，-5=1x(-8+1×3, .m=9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78. m的值为：43或-78： (3):x2+3xy+2y2+2x+3y=-1, .X2+3xy+2y2+2x+3y+1=0, 画十字交叉图： 3 空原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (x+2y+1x+y+1)=0, :x+2y+1=0或x+y+1=0, x,y为整