专题4.1 与三角形有关线段的几何综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题4.1与三角形有关线段的几何综合 典例精析 【典例1】【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点。 图1 图2 图3 B M D 图4 图5 (1)①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点： ②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD,请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任 意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段)画出△ABC的第三条高.（不写画法，保留作图痕迹） 【综合应用】 (2)如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C,AD平分∠BAC,过点B作BE⊥AD于点E: ①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD=一 ②请写出∠EBD与∠ABC,∠C之间的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应 底边的比。如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有会2體=器.知图5，△ABC中，M是BC上 一点，且BM=专BC,N是AC的中点，若△ABC的面积是m,请直接写出四边形CMDN的而积一 (用含m的代数式表示) 【思路点拨】 (I)①由直角三角形三条高的定义即可得出结论：②延长BE、DA交于点F,连接CF,延长BA交CF于 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 点G,则CG为△ABC的第三条高： (2)①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE=方∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得 ∠ABE=55°，即可求解：②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可： (3)连接CD,由中线的性质得S△ADN=S△CDN,同理S△ABN=S△CBN,设S△ADN=S△CDN=a,则 S△ABN=S△cBN=吉m,再求出S△cDN=SADBC=青m-号a,SAACM=号S△ABC=号m,然后由面积 关系求出a=立m,即可解决问题.。 【解题过程】 (1)解：①：直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°， :△ABC的三条高所在直线交于点A, 故答案为：A: ②如图2，延长BE、DA交于点F,连接CF,延长BA交CF于点G,则CG为△ABC的第三条高： G 图2 (2)解：①：∠ABC=80°，∠ACB=30°， ∠BAC=70°， :AD平分∠BAC ·∠BAE=∠BAC=35°， :BE⊥AD: ÷∠AEB=90°， ÷∠ABE=90°-35°=55°， :∠EBD=∠ABC-∠ABE=80°-55°=25°， 故答案为：25°： ②∠EBD与∠ABC,∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC-∠ACB,理由如下： "BE⊥AD, :∠AEB=90°， 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 :∠ABE=90°-∠BAD, ·∠EBD=∠ABC-∠ABE=∠ABC+∠BAD-90°， :AD平分∠BAC ·∠BAD=∠CAD=∠BAC, :∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB, :∠BAD=90°-克∠ABC-∠ACB, ·∠EBD=∠ABC+∠BAD-90°=∠ABC+90·-∠ABC-∠C-90·=∠ABC-∠ACB ÷2∠EBD=∠ABC-∠ACB, 故答案为：2∠EBD=∠ABC-∠ACB: (3)解：连接CD,如图5所示： 内 N 图5 :N是AC的中点， r=祭=1， ·SA(D S△ADN=S△CDN, 同理：S△ABN=S△CBN, 设S△ADN=S△cDN=a, :△ABC的面积是m, aS△ABN=S△CBN=5m, S△BcD=S△ABD=im-a, :BM=专BC, 器= =器=，=器=， S△A(N :S△CDN=2S△BDM,SAACM=2S△ABMN 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 S△mN=SABm=号×(3m-a)=青m-号a,S△4aw=号S△4Bc=号m, :S△ACN=SI边形CNDN+S△ADN=S△cDN+S△CDN+S△ADN, 即：号m=青m-号a+a+a, 解得：a=守m, :S四边形cNDN=S△cDN十S△DN=言m-号×m+m=是m, 故答案为：是m。 学霸必刷 1. (2022春江苏盐城七年级校考阶段练习)如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部 分，BE-3,BF=4,FC=5