1.3.4 导数的应用举例-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 1.3.4导数的应用举例 知识探究·素养启迪 ②知识探究 生活中很多优化问题可化为函数的最值问题加以解决， 公小试身手 1.(2022·安徽霍邱高二开学考试)某生产厂家的年利润y(单位：万元) 与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=x3+81x-286,则该生产厂 家获取的最大年利润为(C) A.300万元B.252万元 C.200万元D.128万元 2.某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有 的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场 的长和宽应分别为（单位：m)(A) A.32,16B.30,15 C.40,20D.36,18 课堂探究·素养培育 @探究点一 函数类优化问题 [例1](2021·福建南平高二期末)某村建了一个工厂，己知每件产品 的成本为a元，预计当每件产品的售价为x元(3≤x≤8)时，年销量为 (9-x)2万件.若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元： (1)试求每件产品的成本a的值： ·独家授权侵权必究· 享学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)当每件产品的售价定为多少元时，年利润y(万元)最大？并求最大 值 解：(1)由题意可知，该产品的年利润为 y=(x-a)(9-x)2(3≤x≤8)， 当x=6时，y=9×(6-a)=27, 解得a=3. (2)由y=(x-3)(9-x)2(3≤x≤8)， 得y'=(x-9)2+2(x-3)(x-9)=(x-9)(3x-15), 由y'=0,得x=5或x=9(舍去). 当x∈[3,5)时，y'>0, 当x∈(5,8]时，y'<0. 所以当x=5时，yax32(万元，即每件产品的售价定为5元时，年利润y 最大，最大值为32万元 Q方法总结 解函数应用题的一般程序 第一步：审题一一 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系： 第二步：建模一一将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应 的数学模型； 第三步：求模一一求解数学模型，得到数学结论： 第四步：还原一一将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义： 第五步：反思回顾一一对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个 数学结果对实际问题的合理性 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [变式训练1](2021·安徽滁州高二期末)某汽车制造厂有一条价值为 60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提 高产品的增加值.己知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增 加值为(60-x)x2万元，并且技改投入比率为0∈(0,5引. (1)求技改投入x的取值范围： (2)当技改投入为多少万元时，所获得的产品的增加值最大，其最大值 为多少万元？ 解：(1)由题意，60∈(0,5]，x0, 所以0<x≤50， 所以技改投入x的取值范围是(0,50]. (2)f(x)=(60-x)x足，x∈(0,50]， f'(x)=-3x(x-40) 当0<x<40时，f'(x)>0: 40<x≤50时，f'(x)<0. 所以函数在(0,40)上单调递增，在(40,50]上单调递减，所以当x=40时， 函数取得极大值，也是最大值，f(40)=(60-40)×40=32000,所以最大 值为32000万元. ②探究点二立体几何类优化问题 [例2](2021·江苏无锡高二期末)如图1，四边形ABCD是边长为10 √2cm的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再 沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图2中的点P,正好形成一个 ·独家授权侵权必究。 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P-EFGH的底面边长为 x cm. E G B E 图1 图2 (1)若要求包装盒侧面积S不小于75cm,求x的取值范围； (2)若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装 盒的容积 解：(1)图1中，设AC,BD交于点O,BD与FG交于点M,图2中，取四边 形EFGH的中心O,连接OP,PM,OM, D 0 B 图1 P H G 图2 因为四边形ABCD是边长为10W2cm的正方形， 所以OB=10(cm), ·独家授权侵权必究。 享学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由FG-x得O2x,PM=BM102X, 因为PD0,即102x2, 所以0<x<10, 因为S=4×FG·P