1.3.2 函数的极值与导数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.3.2 函数的极值与导数 知识探究·素养启迪 ②)知识探究 1.函数极值的概念 (1)函数的极大值和极大值点 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，xo是区间(a,b)内的一个点，若 点xo附近的函数值都小于或等于f(xo)(即f(x)≤f(xo)),就说f(xo) 是函数y=f(x)的一个极大值，此时x称为f(x)的一个极大值点， (2)函数的极小值和极小值点. 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，xo是区间(a,b)内的一个点，若 点xo附近的函数值都大于或等于f(xo)(即f(x)≥f(xo)),就说f(xo) 是函数y=f(x)的一个极小值，此时xo称为f(x)的一个极小值点. (③)函数的极值和极值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点 2.函数的导数与极值的关系 如果函数曲线在极值点处有切线，则该切线和x轴平行（或重合）.换 句话说，函数在极值点的导数为0.反过来，导数的零点可能不是函数 的极值点 3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f'(x). (2)求f(x)的驻点，即求方程f'(x)=0的解 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)对于方程f'(x)=0的每一个解x,分析f'(x)在xo左右两侧的符 号（即讨论f(x)的单调性），确定极值点： ①若'(x)在xo两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点：②若 f'(x)在xo两侧的符号为“左负右正”，则xo为极小值点. (4)求出各极值点的函数值，就得到函数y=f(x)的全部极值. ②小试身手 1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数f(x) 有(C) A.两个极大值，一个极小值 B.两个极大值，无极小值 C.一个极大值，一个极小值 D.一个极大值，两个极小值 2.函数f(x)=-xex的极值情况为 极大值， 极小值.（填“有” 或“无”) 答案：有无 3.函数f(x)=芒的极大值是 答案：1 4.(2022·四川宜宾高二期中)己知函数f(x)=2x3-ax2+2在x=2处取 得极值，则实数a= ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：6 课堂探究·素养培育 ②探究点一 求函数的极值 [例1](2021·湖北武汉高二期末)求函数f(x)=的极值. 解：函数f(x)=的定义域为R, f'(x)= (x24x-1)ex-(x2+x-1)(ey 24)e(x+x-1)e-x24+2-6x+x-2 (ex)2 ex er 由f′(x)=0得x=-1或x=2. ex0,当x∈(-∞，-1)和(2，+∞)时， f'(x)<0,此时f(x)为减函数： 当x∈(-1,2)时，f'(x)>0,此时f(x)为增函数 由f(x)的单调性知函数的极小值为f(-1)=e,极大值为f(2)=5e2= a. Q方法总结 求函数的极值首先要研究函数的单调性，导数的零点把定义域区间划 分为若干个子区间，按照从左到右从递减区间到递增区间的分界点为 极小值点、从递增区间到递减区间的分界点为极大值点 [变式训练1](2022·山东菏泽高二期中)若函数f(x)=lnx-ax在 x=1处的切线斜率为-1，求f(x)的极值. 解：f'(6x)=是a=,f'(1)=-1, 得a=2, f'(x)=, ·独家授权侵权必究· 亨学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当0<x<号时，f'(x)>0: 当x>号时，f'(x)<0: 所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减.f(x)的极大值 为f()=-1n2-1,f(x)无极小值， [变式训练2](2021·安徽淮南高二期末)求函数f(x)=1nx+x2-3x 的极值。 解：f′(x)是+2x3-223-2x11 令f'(x)=0,得x=1或x=, 得f(x)的极小值为f(1)=1n1+1-3=-2, 极大值为f()1n主+=-ln2. ②探究点二根据函数极值的情况求参数的取值范围 [例2](2021·湖北武汉高二期末)己知函数f(x)=(1-x)2-3aln(2+x) 有两个极值点，求实数a的取值范围。 解：函数f(x)=(1-x)2-3aln(2+x)的定义域为(-2，+∞). f'()-2x2-3a·本4兰 因为函数f(x)有两个极值点，则'(x)0, 即方程2x2+2x-3a-4=0在x∈(-2，+∞)上有两个不等实根， 4=4+8(3a+4)>0, 设g(x)=2