1.3.1 函数的单调性与导数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

享学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.3导数在研究函数中的应用 1.3.1函数的单调性与导数 知识探究·素养启迪 )知识探究 1.函数的单调性与导数的关系 若在区间(a,b)内，f'(x)>0,则函数f(x)在此区间内单调递增，(a,b) 为f(x)的单调递增区间： 若在区间(a,b)内，f'(x)<0,则函数f(x)在此区间内单调递减，(a,b) 为f(x)的单调递减区间. 2.导数与函数图象变化趋势的关系 从函数的图象上来看，导数是切线的斜率，斜率的绝对值大说明切线 陡，曲线也就陡：斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些， )小试身手 1.函数y=f(x)的图象如图所示，则在区间(1,3)内，有(B) A.f'(x)>0B.f'(x)<0 C.f'(x)=0D.f'(x)的符号不确定 2.函数y=x3-3x的单调递减区间是· 答案：(-1,1) ·独家授权侵权必究· 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象如图所示，则 y=f(x)的单调递增区间为 单调递减区间 为 答案：(-∞，0)，(2，+∞)(0,2) 4.若函数f(x)=x-k1nx在区间(1，+∞)上单调递增，则k的取值范围 是 答案：(-∞，1] 课堂探究·素养培育 @探究点一 求函数的单调区间 [例1]求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3x2-21nx; (2)f(x)=x2·ex: (3)f(x)2ax2+x-(a+1)1nx(a≥0). 解：(1)函数的定义域为(0，+∞). f'闭-6x是 令”6)0，得X9xg9(舍去)， 3 用x1分割定义域，得下表： X 0, 3 9o) ·独家授权侵权必究· 学科网书城品牌书店·知名教辅·正版资源 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，号)，单调递增区间为(÷，+∞)。 (2)函数的定义域为(-∞，+∞)。 f′(x)=(x2)′e^x+x^2(e)′=2xe^x^2e=e(2x-x^2)， 令f′(x)=0，由于e>0，所以x_1=0，x_2=2， 用x_1x_2分割定义域，得下表： 所以f(x)的单调递减区间为(-∞，0)和(2，+∞)，单调递增区间为 (0，2)． (3)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f′(x)=ax+1∘+1a^2+x-(a+12(a≥0)。 ①当a=0时，f′(x)一 由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1. 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增。 ②当a>0时，f′(x)=(x+')x1， x 因为a>0，所以“a1>0. 由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得O<x<1. _______独家授权侵权必究____ 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.综上所述，当a ≥0时，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞). Q方法总结 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f'(x). (3)由f'(x)>0(或f'(x)<0),解出相应的x的范围. 当f'(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数：当f'(x)<0时，f(x) 在相应区间上是减函数， (4)结合定义域写出单调区间. 注意：当单调区间有多个时，不要写成并集，用逗号“，”隔开即可.若 函数含有参数，一般要分类讨论 [变式训练1](2021·广东深圳期末)函数f(x)=-1nx+2x2的单调递增 区间是( A(号0)和（三+∞） B.(20)U+∞) C.(20) D.经+∞) 解析：由题，得f'(6x)=是4x(x0. 令f′(x)>0,即4x2-1>0, 解得x故选D ②探究点二 函数单调性的简单应用（比较大小、解函数不等式） ·独家授权侵权必究+ 享学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [例2]（多选题已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对 任意的x∈R恒成立，则() A.f(1n2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(1n2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 解析：令g(x) ex 则g'(x)ff田<0， ex 故g(x)在R上单调递减，而1n2>0,2>0, 故g(1n2)<g(0),g(2)<g(0), 即2<t0,tg<t0, 所以f(1n2)<2f(o),f(2)<ef(0) 故选AB. [例3]设f'(x)是奇函数f(