1.2.3 简单复合函数的求导-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

亨学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.2.3简单复合函数的求导 知识探究·素养启迪 ②知识探究 1.复合函数的概念 一般地，设y=f(u)是关于u的函数，u=g(x)是关于x的函数，则yf (g(x)是关于x的函数，称为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数 2.复合函数的求导法则 一般地，对于由函数yf(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x),它 的导数与函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为y'xy'n·u',即 y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积， ②小试身手 1.函数y=cosx可由(C) A.y-u”和u=cos xh复合而成 B.yu和u=cosx复合而成 C.y-un和u=cosx复合而成 D.y=cosu和u=xn复合而成 2.设f(x)=1n(2x+1),则f'(x)等于(B) A.21 B.1 C.FI D.1 3.函数y3x的导数是_ 6 答案：y=3x 4.曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：3 课堂探究·素养培育 )探究点一 复合函数求导法则的应用 [例1]求下列函数的导数 (1)y-2a: (2)y=esin(ax+b); (3)y=sin2(2x+号)： (4)y=51og2(2x+1). 解：(1)设y=r克，u=1-2x2, 则y'=(r3)'(1-2x2)'=(r)·(←4x) =(1-2x23(-4x)=2x(1-2x233. (2)y=eu,u=sin v,v=ax+b, 则y'xy'u·u'v·v'x=eu.cos v·a =acos(ax+b).esin(ax+b) (3)设y-u2,u=sinV,v=2x+号， 则y'xy'u·u'v·v'x=2u·cosv·2 =4sin vcos v=2sin 2v=2sin(4x+4). (4)设y=51og2u,u=2x+1, 则y'5(1og2)'·2x+1)'=品-2xm 10 。方法总结 (1)求复合函数的导数的步骤. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 分层 选择中间变量，写出构成它的 内、外层函数 分别求导 分别求各层函数对相应变量的导数 相乘 把上述求导的结采相乘 变量回代 把中间变量回代 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导：③计算结果尽量简洁. [变式训练1]求下列函数的导数. (1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x): (3)y=1n(4x-1):(4)y=e2x1. 解：(1)y'=[(4-3x)2]′=2(4-3x)·(4-3x)1 =2(4-3x)·(-3)=18x-24 (2)y'=[cos(2x)]' =sin(2x母)·(2x)' =-2sin(2x平). (3)y'=[ln(4x-1)]'=a·(4x-1)'=毫 (4)y'=(e2x-1)′=e2x-1·(2x-1)′=2e2x1. @探究点二导数运算法则的综合运用 [例2]求下列函数的导数. (1)yg; (2)y-xy1+x2: (3)y=xcos(2x+)sin(2x+). ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)因为(1n3x)'=最×3x)′-， 所以y' (In3x)'ex-(In3x)(e)' (ex2 =是n3x-1xh3x er xer (2)y'=(xV1+x2) =x'V1+x2+x(W1+x2)' √1+x2+4袋 (1+2x9/1+x2 1+x2 (3)因为y=xcos(2x+号)sin(2x+罗) =x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x, 所以y'=(xsin4x)' =sin4x等·4·cos4x =sin 4x-2xcos 4x. Q方法总结 先按照四则运算法则总体求解，再对其中涉及的复合函数运用复合函 数的求导法则。 [变式训练2]求下列函数的导数. (1)y=sin2等； (2)y=sin3x+sin x3; (3)y=x1n(1+2x) 解：(1)y'=(sin2等)'=2sin等·(sin等)' =2sin等·cos芳·（等）'=寸sin等 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)y'=(sin3x+sin x3)'=(sin3x)+(sin x3) =3sin2xcos x+3x2c