1.1.3 导数的几何意义-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

亨学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.1.3 导数的几何意义 知识探究·素养启迪 ②知识探究 1.导数的几何意义 当函数y=f(x)表示曲线方程时，其导数f'(x)的几何意义就是该曲 线在点(x,f(x)处的切线的斜率， 2.曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线方程 函数yf(x)在x=xo处存在导数f'(xo),则曲线yf(x)在点(xo,f (xo)处的切线方程为y-f(xo)=f'(xo)(x-xo). 公小试身手 1.若函数f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数f(x)在区间 [a,b]上的图象可能是(A) B 2.曲线y是在点(1,1)处的切线方程为 答案：x+y20 3.曲线y√在点(4,2)处的切线方程为_ 答案：x-4y+40 4.设曲线y=ax2在点(1，a)处的切线与直线2x-y60平行，则 a= 答案：1 课堂探究·素养培育 ·独家授权侵权必究+ 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 公探究点一 求曲线在某点处的切线的斜率 [例1](2021·安微蚌埠高二期末)已知函数f(x)=x3-2x,则f(x)在 点(1，f(1)处的切线的倾斜角为() A.要B.晋C.牙D.晋 解析：当d→0时，1+o@-+d2+1421+3d+dP→1， d 所以f(x)在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为号. 故选C. 方法总结 把函数解析式看作曲线方程，则函数在x=xo处的导数值f'(x0)即为 曲线在点(xo,f(xo)处的切线的斜率. [变式训练1]（多选题）(2022·山东潍坊高二月考)曲线f (x)=x3-x+3在点P处的切线平行于y=2x-1,则点P的坐标为() A.(1,3)B.(-1,3) C.(-1,-3) D.(1,-3) 解析：设P点的横坐标为xo, 当d-0时，xt0f@-3x3-1+3xod+P-3x1. d 由3x31=2,解得x01或-1， 所以P(1,3)或(-1,3) 经检验，点(1,3)，（-1,3)均不在直线y2x-1上.故选AB. ②探究点二 求曲线上某点处的切线方程 ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [例2](2021·安徽宿州高二期末)曲线yx+是在点(1,3)处的切线与 两坐标轴所围成的三角形的面积为() A.4B.2C.16D.8 解析：d一0时，+@品21+品→-1， d 所以曲线yx+层在点(1,3)处的切线方程为y3=-(x-1),即x+y-40. 切线与两坐标轴的交点分别为(0,4)，(4,0)， S-号×4×4-8. 故选D. Q方法总结 求解步骤： (1)求出函数在x=xo处的导数值，即为切线斜率. (2)利用函数解析式求出切点坐标，根据点斜式方程得出切线方程. [变式训练2](2021·山东淄博高二期末)曲线y√x+1在点(0,1)处 的切线方程为 解析：当d-0时，型-1+1一号 所以曲线在点(0,1)处的切线斜率为，切线方程为x-2y+2=0. 答案：x-2y+2=0 ②探究点三 求曲线过某点的切线方程 [例3]（多选题）(2022·山东新泰高二月考)己知点A(1,2)在函数f (x)=ax3的图象上，则过点A的曲线C:y=f(x)的切线方程是() A.6x-y-4-=0B.x-4y+7=0 ·独家授权侵权必究· 亨学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.4x-y+7=0D.3x-2y+1=0 解析：因为点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上，所以a=2.设切点为P (xo,yo). 当d-0时，6xt@-2+⊙2S-2(3xX3+3xd+dP)-→6x3 d d 所以切线斜率k=6x,曲线在点P处的切线方程为y-2x6x号(x-xo), 即y6xx-4x8 而点A(1,2)在切线上，所以26x34x8, 即2x3(x01)-(x3-1)=(x01)2(2x0+1)=0, 解得x01或x0支， 所以切线方程为6x-y-4-0和3x-2y+1=0. 故选AD. 。方法总结 曲线过某点的切线有如下情况： (1)该点不在曲线上，即过曲线外一点作曲线的切线，求曲线方程 (②)该点在曲线上，除了曲线在该点处的切线外，还存在一条（或两条 等)过该点.求解的关键是先不管这个已知点，直接使用(xo,f(xo)为 切点，求出曲线在该点处的切线方程，再利用该直线过己知点得出xo, 即可得出曲线过该点的全部的切线方程. [变式训练3]已知曲线y寺x3,过点(1，寺)的切线方程为一， 解析：记f(x)寺x3, 设