1.1.1—1.1.2 函数的平均变化率 瞬时变化率与导数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第1章 导数及其应用 1.1 导数概念及其意义 1.1.1函数的平均变化率 1.1.2瞬时变化率与导数 知识探究·素养启迪 忽知识探究 1.函数的平均变化率 我们把-@称为函数f(x)在区间[a,b]内的平均变化率.其几何 b-a 意义是函数图象上两点(a,f(a)),(b,f(b))连线的斜率. 2.函数的瞬时变化率 一般地，若函数y=f(x)的平均变化率u+a-f@在d趋近于0时，有 d 确定的极限值，则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率. 3.导数的定义 (1)函数在一点处的导数， 设函数y=f(x)在包含xo的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果 比值o+)-趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数 d y=f(x)在x=xo处的导数或微商，记作f'(xo). 上述定义可以简单地表述为+-fo一f'(x)(d-0), 读作“d趋近于0时，o+a-f趋近于f'(x)”. (2)函数在区间上的导数. ·独家授权侵权必究· 享学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 若y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f'(x)(或y')也是 x的函数，我们把f'(x)(或y')叫作y=f(x)的导函数或一阶导数， 既然导函数f'(x)也是函数，若f'(x)在定义区间中任一点处都可 导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f”(x).类似地，可以定义 三阶导数f"(x),等等. ②小试身手 1.函数y=x+1在[1,2]上的平均变化率是(C) A.-1B.0C.1D.2 2.函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为(B） A.1B.-1 C.2 n 3.设函数f(x)在x=1处可导，则当d一0时，[+①趋近于(B) -2d A.f'(1)B.2f'(1) C.-2f'(1)D.-f′(1) 4.物体的运动方程s(t)=t2+2t,则该物体的初速度为 在t=2 时的瞬时速度为 答案：26 课堂探究·素养培育 )探究点一 函数的平均变化率 [例1](2021·天津河西区高二期末)设函数f(x)=x2-1,当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是() A.2.1B.0.21 C.1.21 D.0.121 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：f1f024=2.1. 1.1-1 0.1 故选A. [例2]（多选题）函数y=x2在xo到xo+d之间的平均变化率为k1,在xod 到x之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为() A.k1>k2 B.k1<k2 C.当d→0时，k1kD.不确定 解析：k1fo+d）-f-o+d262xo+d, d d k2-I(xo-f(odxo-d)22xo-d. d 因为d可正也可负，所以k与k2的大小关系不确定. 当d-0时，k1k22xo.故选CD. 。方法总结 函数在一个区间上的平均变化率即为在该区间上函数值的改变量与 自变量的改变量的比值，其几何意义是函数图象上通过区间端点的直 线的斜率. [变式训练1]函数f(x)=x2+x在x=1到x=1+d之间的平均变化率为 () A.d+2B.d+3 C.2d+d2 D.3d+d 解析：f+af①-1+d2+1+d-2+)+3dd+3.故选B. (1+d0-1 d d ·独家授权侵权必究+ 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [变式训练2](2021·天津河东区高二期中)己知函数y-sinx在区间 [0,,[,上的平均变化率分别为k,k,那么k,k的大小关系 为 解析：当x∈[0，时，平均变化率 sin-sin0 3 k π 当x∈，时，平均变化率 sin-sin33×2-③，所以k1k2. k2= 答案：k1>k2 ②探究点二 求运动物体的瞬时速度 [例3](2022·山东临沂高二期中)一个质量m=5kg的物体做直线运 动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t+ 2t2表示，并且物体的动能E2v2(m为物体质量，v为物体运动速度)， 则物体开始运动后第7s时的动能是( A.160JB.165JC.170JD.175J 解析：d-0时，7+-s⑦=8d-8, d 故物体在t=7s时的瞬时速度为8m/s, 所以E2×5×82=160(J).故选A Q方法总结 运动物体在[t,t+]内平均速度的极限即为该物体在t时的瞬时速度： ·独家授权侵权必究· 令学科网书城画 品瘦书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边