3.2.3 离散型随机变量的数学期望-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.2.3离散型随机变量的数学期望 知识探究·素养启迪 知识探究 1.离散型随机变量的数学期望 (1)概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X X1 X2 Xi Xn P P1 P2 Pi Pn 则称E(X)-X1P1tx2p2t+xnPn为X的数学期望或均值. (2)几个常用分布的数学期望。 ①两点分布. 若XB(1,p),则E(X)p. ②二项分布. 若XB(n,p),则E(X)=np. ③超几何分布. 若X~HN,M,n）,则E(X)=兴 2.数学期望的性质 若Y=aX+b,a,b为常数，则E(Y)=aE(X)+b. @小试身手 1.若随机变量X的分布列为 ·独家授权侵权必究· 亨学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 X -1 0 1 P 则E(X)等于(C) A.0B.-1C.言D.- 2.(2021·重庆高二期末)若随机变量X服从二项分布B(6,0.6),则X 的期望E()等于(B) A.0.6B.3.6 C.2.16 D.0.216 3.有8名学生，其中有5名男生.从中选出4名代表，选出的代表中男 生人数为X,则其数学期望E(X)等于(B) A.2B.号C.3 D.子 4.对某个数学题，甲解出的概率为号，乙解出的概率为，两人独立解 题.记X为解出该题的人数，则E(X) 答案：品 课堂探究·素养培育 公探究点一 求离散型随机变量的均值 [例1](2021·江苏淮安淮阴中学高二期末)某地实行的“新高考方 案：3+1+2”模式，其中统考科目“3”指语文、数学、外语三门，“1” 指首先在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地 理、化学、生物4门科目中选择2门.某校根据统计选物理的学生占 ·独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 :并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下， 选地理的概率为 (1)求该校最终选地理的学生的概率： (2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X.求X的分布列 以及数学期望. 解：(1)设该校最终选地理的学生为事件A, P(A)是×号+×等五 因此，该校最终选地理的学生的概率为品， (2)由于XB3,五)， 则P《0)=(品)月品， P《=1)c(6)×(品)28器， P《=2)C()'×品机， P《3)-c()3器， 所以，随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 3 品 搬 制 343 1000 所以E(X)-0×品+1×器+2×品+3×器器，或者EX)=3×品 Q方法总结 ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 躯身边的互联网+教辅专家 求离散型随机变量均值的方法：首先求出分布列，然后根据数学期望 的计算公式进行计算，若服从两点分布、二项分布、超几何分布的随 机变量，可以直接使用公式求解。 [变式训练1]为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动。该滑雪 场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小 时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)。有甲、乙两人 相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别 为4，。；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为1，子；两人滑雪 时间都不会超过3小时。 (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ 的分布列与数学期望E(ξ)。 解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0元，40元，80元，两人 都付0元的概率为P_1=1×t=±，两人都付40元的概率为P_2士×3与， 两人都付80元的概率为 P_3=(1＋1)×(1┐)+×+1， 则两人所付费用相同的概率为P=P_1+P_2+P_3十☆立 (2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，则ξ的可能取值为 0，40，80，120，160，则P(ξ=0)=×|=； P(ξ=40)=|×+2×+； P(ξ=80)=×|+1×2++×t+； ____独家授权侵权必究__ 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 P(5=120)=号×名+4×号： P(5=160)=×含立： 所以ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P 方 品 六 E(5)=0×方+40×+80×员+120×+160×六=80. ②探究点二 数学期望的实际应用 [例2](2021·黑龙江鹤岗一中高二期末)甲、乙两家外卖公司，其送 餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无 底薪，40