2.4.4 向量与距离-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 2.4.4向量与距离 知识探究·素养启迪 )知识探究 1.点到直线的距离 (1)计算公式. 如图，直线1的方向向量为v,点P为直线1外一点，过点P作直线1 的垂线交1于点D则PD即为点P到直线1的距离.设A为直线1 上任意一点，则AD是AP在1上的投影向量，所以投影长AD=AP· AP-vI AP.vl cos∠PaDl=AP·d时， 于是，点P到已知直线1的距离 dPDl√AP2-AD (2)计算程序. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 在直线上任取一点A 确定直线的方向向量 计算向量AP 计算AP在方向向量v上的投影长 |A· 点P到直线l的距离为 2.点到平面的距离 (1)计算公式. 如图，在平面a内任取一点A,作向量AP,设n是平面a的法向量，则 P在法向量n上的投影长驴，即为点P到平面a的距离d. (2)计算程序. 在平面a上任取一点A 确定平面a的法向量n 计算向量AP 计算AP在法向量n上的投影长 AP· 一，则该投影长即为点P 到平面a的距离 3.两平行线间的距离 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 转化为点到直线的距离，计算程序为 在直线m上任取一点A 在直线n上任取一点P 确定直线m的方向向量y 计算向量AP 计算AP在方向向量y上的投影长 AP· 两平行线m,n间的距离为 4.两平行平面间的距离 (1)计算公式. 如图，A,B分别是平行平面a,B上的任意一点，设n是平面a,B的一 个法向量，则平面a,B之间的距离d别 (2)计算程序. ·独家授权侵权必究+ 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 在平行平面a,B上 各取一点A,B 确定平面的法向量n 计算向量AB 计算AB在法向量n上的投影长 AB·n n ,则该投影长即为两平 行平面a,B之间的距离 公小试身手 1.(2021·天津市新华中学高二月考)己知空间中三点A (1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),则点C到直线AB的距离为(A) A.誓B.5c5D.写 2.己知平面a的一个法向量是=(-2，-1,2)，点A(3,4,-1)是平面a 内的一点，则点P(1,2,-1)到平面a的距离是(C) A.1 B.5C.2D.22 3.(2022·湖南郴州高二月考)△ABC的顶点分别为A (1,-1,2),B(3,0,5),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于 答案：√29 4.(2022·安徽合肥一中月考)在长方体ABCD-ABCD1中， ADAA1=1,AB=2,若E为AB的中点，则点E到平面ACD1的距离是 答案： 课堂探究·素养培育 探究点一 点到直线的距离、两平行线间的距离 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 [例1](2021·天津滨海新区高二期末)如图，在棱长为1的正方体 ABCD-ABCD1中，点B到直线AC1的距离为 B 解析：如图建立空间直角坐标系， 则A(1,0,1),B(1,1,1),C(01,0), 所以AB=(0,1,0),AC1=(-1,1,-1). D B D 取aAB(0,1,0), 需911，小，1.a·孕，所以点B到直线的距离为 V-(am写-5 答案：5 Q方法总结 点到直线的距离为基本距离之一，两平行线间的距离能转化为点到直 线的距离。 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [变式训练1]已知直线1经过点A(2,3,1),且向量n=(,0,)为1 的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到1的距离为 解析：因为PA(2,0,1),(停，0，号)为1的一个单位方向向量，所 以点P到1的距离为 答案：号 ②探究点二 点到平面的距离、直线与平面间的距离、两平行平面 间的距离 [例2]己知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分 别为AB,BC的中点，则点D到平面PEF的距离为 直线AC到 平面PEF的距离为 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0), E(1,,0),F(,1,0), EF=(,,0),PE(1,,-1),DE(1,克，0). 设平面PEP的法向量为n=(x,y,z), EF.n=0, 则 PE-n=0, ·独家授权侵权必究· 学科