2.4.3 向量与夹角-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.4.3向量与夹角 知识探究·素养启迪 )知识探究 1.两异面直线的夹角 设两条异面直线a与b所成的角为0(0∈(0，])，它们的方向向量 分别是V1,v2,设v1与v2的夹角为g.根据异面直线所成角的定义，可 知0与的关系是 (φ0<p≤)（如图(1）)， 0气-φ（经<p<(如图(2②） p (1) (2) 对于上述两种情况，均有cos0=cos=cosg>器. 2.直线与平面所成的角 (1)直线与平面所成角的定义 若直线1与平面a垂直，则直线1与平面a所成的角0罗，即为直角. 设直线1与平面a不垂直，直线1与该直线在平面a内的投影1’所 成的角0就是直线1与平面ā所成的角，其取值范围为[0.罗). (2)线面角的计算方法， 当直线1与平面α相交且不垂直时，设它们所成的角为0，v是直线1 的一个方向向量，n是平面a的一个法向量，v与n的夹角为，那么0 与e有如下关系： ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.2 xxk.com 您身边的互联网+教辅专家 受-φ(0<p<)(如图3)， 9气p-(得<p<m水如图(4) (3) (4 当1∥a或1ca时，0=0,7： 当1⊥a时，0=号，0或r. 对于上述情，况均有sin0=Ic,>. 3.两个平面所成的角 (1)两个平面所成角的定义. 两个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角为两平面所 成的角，由此可知两个平面所成角的取值范围为[0，工，当两个平面 平行时，它们所成的角为0°. (2)两个平面所成角的计算方法. 设两个平面a1和a2所成的角为0，平面a,a2的法向量分别为n1 和n2,记<n,n2>=,如图，则0与e有如下关系：0= 「4(0≤p≤)（如图（⑤）)， π-p(变<p≤π)（如图(6）) (5) ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (6) 对于上述两种情况，均有cos0=cosg=cos<n1,n2>. 小试身手 1.设两条异面直线a,b的一个方向向量分别为a (-1,1,0),b=(0,-1,1),则a与b所成的角为(B) A晋B.号C.9D.哥 2.(2021·陕西宝鸡高二期末)直线1的方向向量s=(1,1,2),平面ā 的法向量=(1,3,0)，则直线1与平面a的夹角的正弦值为(B) A要B要c零D要 3.如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，AC⊥CC1,AC⊥BC,ACBC-2,∠C1CB 60°，CC13,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1,CE=2,则平面 BBE与平面BED的夹角的余弦值为 答案： 4.(2020·辽宁大石桥高二期中)若平面a的法向量n=(1,入，1)，平面 B的法向量m(2,1,2》,两平面夹角的正弦值为，则入= 答案：±2 ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 驱身边的互联网+教辅专家 b。1xxkcom1 课堂探究·素养培育 ⑩探究点二求两异面直线所成角的余弦值 [例1](2021·陕西西安长安一中高二期末)在三棱锥P-ABC中，PA， PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线 PN和M所成角的余弦值为(） A.-SB。÷c+p要 解析：以点P为坐标原点，以PAPB.PC为x轴，y轴，z轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系， 令PA=2， 则P(0，0，0)， B(0，2，0)，M(1，0，1)， N(1，1，0)， 则PN=(1，1，0)，BM=(1，-2，1)。 设异面直线PN和BM所成角为θ， 则cos（ 故选D。 ∘方法总结- _____独家授权侵权必究_ 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 52 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 使用空间向量求两异面直线所成角的余弦值的方法：建立空间直角坐 标系，得出两直线的方向向量，这两个向量所成角余弦值的绝对值即 为两异面直线所成角的余弦值.注意：若据此余弦值得出两异面直线 所成的角的大小，则要考虑两异面直线所成的角的范围是(O,罗]. [变式训练1]在长方体ABCD-ABCD1中，AB2,BC2,DD1,则AC与 BD1所成角的余弦值是() A.0R驷 C.D 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(O,0,),B (2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0).所以 BD1=(2,-2,), AC=（2,2,0), BD,AG 所以cos<BD1,AC> BDA高0， 即AC与BD1所成角的余弦值为O. 故选A. ②探究点二求直线与平面所成角的正弦值 [