2.4.1—2.4.2 空间直线的方向向量和平面的法向量-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.4空间向量在立体几何中的应用 2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量 2.4.2空间线面位置关系的判定 知识探究·素养启迪 )知识探究 1.直线的方向向量 一般地，如果非零向量v与直线1平行，就称v为1的方向向量. 2.平面的法向量 如果非零向量n所在直线与平面a垂直，则称n为平面a的法向量. 3.空间向量与空间位置关系 设空间两条直线11,12的方向向量分别为v (x1,y1,z1),V2(x2,y2,z2),两个平面a,a2的法向量分别为n1 (a,b1,c1),n2(a2,b2,c2),则 位置关系 向量表示 向量运算 坐标运算 X1x2+y1y2+ 11⊥12 V1⊥V2 V1·V20 Z1Z20 a=kx1,bi=ky1, 11La1 v1∥n nkvi C1=kZ1, k为非零常数 aa2+bib2+ a1⊥a2 n1⊥nz n1·n20 C1C20 ·独家授权侵权必究· 亨学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 X2-kX1, y2-ky1, 11/12 v1∥v2 V2-kV1 Z2-kZ1, k为非零常数 xar+yibi+ 11∥a1 v1⊥n1 v1·n1-0 Z1C10 a2-ka1, b2=kb1, a1∥a2 n1/n2 n2kni C2-kC1 k为非零常数 4.三垂线定理 (1)点在平面内的射影 过点P作平面a的垂线，则称垂足Po为点P在平面a内的射影. (2)直线在平面内的射影， 如果直线1垂直于平面a,那么1在a上的射影是一个点，就是1与a 的交点.如果1与a不垂直，1在a上的射影就是一条直线. (3)平面的斜线. 我们把与平面α相交但不垂直的直线称为平面a的斜线. (4)三垂线定理. 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直， 则它和这条斜线也垂直. (⑤)三垂线定理的逆定理。 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线 在平面内的射影也垂直. 公小试身手 1.(2021·浙江宁波高二期末)己知向量a=(4,4,5),b=(-7,x,y)分别 是直线1,12的方向向量，若11⊥12，则下列几组解中可能正确的是( A) A.x=2,y=4 B.x=4,y=3 C.x=1,y=3 D.x=6,y=2 2.若直线1的方向向量为a,平面a的法向量为n,能使1∥a的是( D) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 3.(2021·陕西咸阳高二期末)已知直线1的方向向量为(2,1，m),平 面a的法向量为(1，，2)，若1⊥a,则实数m等于(C) A.2B.3 C.4D.5 4.已知平面a与平面B垂直，若平面a与平面B的一个法向量分别 为u=(-1,0,5),v=(t,5,1),则t的值为 答案：5 课堂探究·素养培育 探究点一 求平面的法向量 ·独家授权侵权必究 学科网书城“品牌书店·知名教辅·正版资源 b。1V9kCOm=∠___身边的互联网+教辅专家 [例1]如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD=4，分别求平面SCD与平面SBA的一个法向量。 解：因为AD，AB，AS是三条两两相互垂直的线段，所以以A为原点，分别 以AD·AB.AS为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角 坐标系， 则A(0，0，0)，D(2，0，0)， c(1，1，0)，s(0，0，1)， 所以AD=(}，0，0)是平面SBA的一个法向量。 设平面SCD的法向量为n=(1，λ，u)(λ，u∈R)， 则n·DC=(1，λ，u)·(}，1，0)=1+λ=0， 所以λ=2． n”Ds=(1，λ，u)·(→，0，1)=→+u=0， 所以u=_2， 所以n=(1，1，_1)． 综上，平面SCD的一个法向量为n=(1，}，1)，平面SBA的一个法向量 为AD=(2，0，0(答案不唯一)． 独家授权侵权必究____ 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 Q方法总结 平面的法向量的求解方法 (1)设平面的一个法向量为n=(x,y,z). (2)找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标： a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). ra=0, ③)依据法向量的定义建立关