2.2 空间向量及其运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（湘教版2019）

导 CO以 2.2 空间向量及其运算 知识探究素养启迪 ②知识探究 1.空间向量的基本概念 (1)空间向量. 我们把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 (2)空间向量的模， 空间向量a的大小（或长度）称为a的模，记为a. (3)空间向量的表示. 要表示空间向量a,可以从空间中任意一点A出发作有向线段，使 的方向与a 相同，长度与a相等，则有向线段 表示向量a,记作a,·常把分称为向量 的起点，B称为向量的终点 AB AB表示从A到B的位移B AB (4)相等向量. 从不同点出发的向量，只要它们的方向相同且长度相等，就称它们为相等向量， (5)相反向量 方向相反、长度相等的向量称为相反向量， (6)零向量. 零向量的大小a=0,用长度为0的有向线段 表示，记为0.零向量所表示的位移 的起点与终点重合，即保持起点不动 AA 零向量的方向可以是任意的， (7)单位向量 长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a,可得到与它方向相同的唯一单 位向量 e a (8)平行向量。 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若b=λa，其中λ为实数，则b与a共线或平 行，记作b∥a． 零向量的方向可以任取，又0=0a，则O是任意向量a的0倍，因此零向量与任意向 量共线。 2.空间向量的加减法 (1)定义。 如图，对于空间任意两个向量a，b，作=a，、=b，=b，则a+b=，ab= oc BA (2)运算律. a+b=b+a.(加法交换律) (a+b)+c=a+(b+c).(加法结合律) 3.向量与实数相乘 (1)定义 Ixa=xal. 当入>0时，入a与a方向相同；当入<0时，入a与a方向相反. (2)运算律」 入(a+b)=入a+入b.(对向量加法的分配律) (入+入2)a=入1a+入2a.(对实数加法的分配律) 4.向量的数量积 (1)向量的夹角. 如图，由于空间任意两个向量a,b都可以平移到同一个平面OB内，因此与平面 向量夹角的定义一样，我们把∠AOB称为向量a,b的夹角，记作<a,b>,其取值范 围为[0，]. (2)数量积的定义. 定义ab=|al bcos<a,b>为a与b的数量积. 当a,b都不为0时，它们有确定的夹角<a,b>∈[0，r]. 当a=0或b=0时，夹角<a,b>可以在[0，]中任意选定，但总有ab=0. (3)数量积的性质。 a·a=lal2,la= a·b=0a⊥b. 台 .ξaa (4)夹角余弦公式. 对于两个非零向量a,b,由a·b=ab·cos<a,b>得cos<a,b>, B (5)数量积的运算律 (入a)b=入(ab),λ∈R. ab=ba.（交换律) a(b+c)=ab+ac.(分配律) (6)向量的投影与数量积的几何意义. ①投影向量. 如图，将空间任意两个向量a,b平移到同一个平面内，可得=a,=b,〈a,b>=a. 过点B作BB:⊥OA,垂足为点B,则。为在，方向上的粉影向易投影向量的模 lOB1OB|cosa|称为投影长B1OBOA b b 0 B a ②投影。 取_方向上的单位向量e来度量投影向量，类比平面向量，可得 （|_oA|cosα)e， 因而可用|_|cosα来代表投影向量。我们称|cosα为在方向 上的投影，莎p正负表示OB_1与OA方向相量还是相反。0B0B0A ③数量积的几何意义。 a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cosα的乘积，也等于b 的模|b|与a在b方向上的投影|a|cosα的乘积。