1.3.3 三次函数的性 质单调区间和极值-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（湘教版2019）

导茅 C0人 1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 知识探究·素养启迪 )知识探究 1.三次多项式函数的性质 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则F'(x)=3ax2+2bx+c是二次函数，可能有以下 三种情形： 情形1 函数F'(x)没有零点，F'(x)在(-∞，+∞)上不变号， (1)若a>0,则F'(x)恒为正，F(x)在(-∞，+∞)上递增， (2)若a<0,则F'(x)恒为负，F(x)在(-∞，+∞)上递减 情形2。 函数F'(x)有一个零点x=w, (1)若a>0,则F'(x)在(-o,w)U(w,+∞)上恒为正，F(x)在(-∞，+∞)上递增 (2)若a<0,则F'(x)在(-∞，w)U(w,+∞)上恒为负，F(x)在(-∞，+∞)上递减 情形3函数F'(x)有两个零点xu和x=v,设u<v,根据二次函数的性质可得： (1)若a>0则F'(x)在(-∞，u)和(v,+∞)上为正，在(u,v)上为负，对应地， F(x)在(-∞，u)上递增，在(u,v)上递减，在(v,+∞)上递增.可见F(x)在x=u处 取极大值，在x=v处取极小值. (2)若a<0,则F'(x)在(-∞，u)和(v,+∞)上为负，在(u,v)上为正，对应地， F(x)在(-∞，u)上递减，在(u,v)上递增，在(v,+∞)上递减 可见F(x)在x=u处取极小值，在x=v处取极大值， 2.闭区间上函数的最值 (1)最值. 一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那 么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值. (2)求函数最值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； ②求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b); ③将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大者是最大值，最小者是 最小值 公小试身手 1.(2021山东潍坊高二期末)己知当x=m时，函数f(x)=x3-12x取得极大值，则m 等于(B) A.-4B.-2 C.4 D.2 2.（多选题)函数y=x3-3x+4有(AD A.极大值6 B.极小值6 C.极大值2 D.极小值2 3.若函数f(x)=axln x(a∈R)的最小值为-l,则实数a=e 4.函数f(x)=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a=-2 课堂探究素养培育 ②探究点一 三次函数的性质 [例1](2021陕西咸阳高二期末)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a∈R). (1)当a=1时，求函数f(x)的极大值； 解：(1)当a=1时，f(x)=x3-3x-1,该函数的定义域为R,且f'(x)=3x2-3.令f (x)>0,得x<-1或x>1;令f'(x)<0,得-1<x<1. 所以f(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，故f(x)的 极大值为f(-1)=1. [例1](2021陕西咸阳高二期末)己知函数f(x)=x3-3ax-1(a∈R). (2)讨论函数f(x)的单调性. 解：(2)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a). ①当a≤0时，f'(x)≥0在R上恒成立，f(x)在R上单调递增； ②当a>0时，令f'(x)>0,得x<-或x>; 令f'(x)<0,得-<x< ξa ξa 所以函数W在号公公，：。o)上单调递增，在（d口上单调通减 Ea ta Ω方法总结- 三次函数的导函数是二次函数，根据二次函数的图象与性质可以非常方便地研 究三次函数的单调性和极值。