1.3.2 函数的极值与导数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（湘教版2019）

导巧第 C0以 1.3.2 函数的极值与导数 知识探究素养启迪 )知识探究 1.函数极值的概念 (1)函数的极大值和极大值点. 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，xo是区间(a,b)内的一个点，若点xo附近的函数值 都小于或等于f(xo)(即f(x)≤f(xo)),就说f(xo)是函数y=f(x)的一个极大值，此时xo称 为f(x)的一个极大值点. (2)函数的极小值和极小值点 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，xo是区间(a,b)内的一个点，若点xo附近的函数值 都大于或等于f(xo)(即f(x)≥f(xo)),就说f(xo)是函数y=f(x)的一个极小值，此时xo称 为f(x)的一个极小值点： (3)函数的极值和极值点。 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点 2.函数的导数与极值的关系 如果函数曲线在极值点处有切线，则该切线和x轴平行（或重合）.换句话说，函数 在极值点的导数为0.反过来，导数的零点可能不是函数的极值点 3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f(x). (2)求f(x)的驻点，即求方程f'(x)=0的解. (3)对于方程f'(x)=0的每一个解xo,分析f'（x)在xo左右两侧的符号（即讨论 f(x)的单调性)，确定极值点： ①若'(x)在xo两侧的符号为“左正右负”，则xo为极大值点；②若f'(x)在xo 两侧的符号为“左负右正”，则x为极小值点 (4)求出各极值点的函数值，就得到函数y=f(x)的全部极值. 公小试身手 1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)有(C) A.两个极大值，一个极小值 B.两个极大值，无极小值 C.一个极大值，一个极小值 D.一个极大值，两个极小值 y=f'() 2.函数f(x)=-xex的极值情况为有极大值，无极小值.（填“有”或“无”） 3.函数f(x)一的极大值是 1+x 4.(2022四f宜宾高二期中)已知函数f(x)=2x3-x2+2在x=2处取得极值，则实 数a=6 课堂探究·素养培育 公探究点一 求函数的极值 [例1们(2021·湖北武汉高二期末)求函数f(x)=,一的极值. 解：函数f(x)=2二的定义域为R, x+x 1 (x)- -).-( f/ -)()()·-(-)· =()(-) 2 x +x 1 +x1e x 2 x 2 2x+1 e x+x 1 e x+x+2x+1x2 由f′(x)=0得x=-P或x=2 e e e>0,当x∈(-∞，-1)和(2，+∞)时，f'(x)<0,此时f(x)为减函数； 当x∈（-1,2)时，f'(x)>0,此时f(x)为增函数. 由f(x)的单调性知函数的极小值为f(1)=-e,极大值为f(2)=5e2- Q方法总结 求函数的极值首先要研究函数的单调性，导数的零点把定义域区间划分为若干 个子区间，按照从左到右从递减区间到递增区间的分界点为极小值点、从递增 区间到递减区间的分界点为极大值点 [变式训练1](2022山东菏泽高二期中)若函数f(x)=lnx-ax在x=1处的切线 斜率为-1，求f(x)的极值. 解：f'(x)=-a=一，f'(1)=-1, 11 ax 得a=2, f′ x)=—, 12x 当0<x<-时，f′(x)>0; 当x>时，f'(x)<0 所以(x)在(0，-）上单调递增，在（(，+∞)上单调递减.f(x)的极大值为f(-)=-ln2-1, f)无极小值2 1 1 2 2