2.4.3 向量与夹角-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（湘教版2019）

导巧第 C0以 2.4.3 向量与夹角 知识探究素养启迪 )知识探究 1.两异面直线的夹角 设两条异面直线a与b所成的角为0（0∈(0，-])，它们的方向向量分别是v,2,设 v与的夹角为p.根据异面直线所成角的定叉，可知0与p的关系是 (如图()， 0= π J0 2 (如图(). 6 2 回 (1) (2) 对于述两种情况均有c=es9easw, 7122 2.直线与平面所成的角 (1)直线与平面所成角的定义. 若直线1与平面a垂直，则直线1与平面a所成的角0一，即为直角： 设直线1与平面a不垂直，直线1与该直线在平面α内的投影1'所成的角0就是 直线1与平面ā所成的角，其取值范围为 [0,-) (2)线面角的计算方法。 当直线1与平面α相交且不垂直时，设它们所成的角为θ，v是直线1的一个方向向 量，n是平面α的一个法向量，v与n的夹角为φ，那么θ与φ有如下关系： (如图())，i θ=ππ（如图(3))． φ 2―φ⑨<φ< 当1卯c^2鲲Kq时πθ=0，φ4-； (3）(4） 当1⊥α时，9-，φ=0或π．2 对于上述情况，均有sinθ=|cosφ|-|cos<v，n>|= 3.两个平面所成的角 (1)两个平面所成角的定义， 两个平面相交会形成四个二面角，一般规定较小的二面角为两平面所成的角，由此可知 两个平面所成角的取值范围为 [0,-] 一，当两个平面平行时，它们所成的角为0°· (2)两个平面所成角的计算方法 设两个平面a,和az所成的角为0，平面a1,a:的法向量分别为n和n,记<n,n>=p,如图， (如图()， 则0与φ有如下关系：0= p(0sp≤2) (如图(). 对于上述两种情况，均有c0(2cg料|cos<nn>. (5) T- (6) 公小试身手 1.设两条异面直线a,b的一个方向向量分别为a=(-1,1,0),b=(0,-1,1),则a与b所成 的角为(B) A.- B.- C.- D.— π π 2π 5π 2.2021·陕西宝鸡高二期末)直线1的方向向量s=(1,1,2),平面a的法向量n=(1,-3,0), 则直线1与平面a的夹角的正弦值为( B A.— B.— C.- 15 ξ15 ξ210 ξ210 15 15 15 15 3.如图，在三棱柱ABC-AB1C1中，AC⊥CC,AC⊥BC,AC=BC=2,∠CCB=60 ,CC1=3,点D,E分别在棱AA,和棱CC1上，且AD=1,CE=2,则平面BBE与平面BED的 夹角的余落值为 4.(2020·辽宁大石桥高二期中)若平面a的法向量n=(1,入，1)，平面B的法向量 m=(2,-1,-2),两平面夹角的正弦值为一，则x=± ξ34 E2 6 课堂探究素养培育 ◎探究点一求两异面直线所成角的余弦值 [例1](2021·陕西西安长安一中高二期末)在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， 且PA=PB=PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为(） A.——B.—C.―D.一 ξ6ξ6”ξ3” 解析：以点P为坐标原点，以6，，为采轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的 空间直角坐标系， PAPB.PC 令PA=2，则P(0，0，0)，B(0，2，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，M∠ 则_=(1，1，0)，=(1，-2，1)。At’x“了 设屏面直线PN和随所成角为θ，则cos_θ。故选D。