11.4 空间中的垂直关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习全书word（人教B版）

学科网书城国 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 学习目标 1.通过复习初中几何中的有关知识，理解异面直线所成的角，斜线与 平面所成的角，培养类比推理论证的核心素养。 2.通过长方体学习直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判 定定理，并会用其判断直线与平面垂直，培养直观想象的核心素养 3.通过线面垂直的性质定理的学习，能应用线面垂直的判定定理与性 质定理处理空间垂直问题，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养。 知识梳理·自主探究 ②知识探究 1.直线与直线所成角 (1)相交直线所成角：两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所 得到的不大于直角的角的大小 (2)异面直线所成角：一般地，如果a,b是空间中的两条异面直线，过 空间中任意一点，分别作与直线a,b平行或重合的直线a',b',则a' 与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小. (3)空间中两条平行直线所成角的大小为0°，空间中两条直线1，m所 成角的大小为90°时，称1与m垂直，记作1⊥m (4)若a∥b且b⊥c,则a⊥c. 思考1：异面直线a与b所成角的大小与选取的空间任意一点的位置 有关吗？异面直线a与b所成角a的取值范围是什么？ ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：无关，0°<a≤90°. 思考2：设空间中两条直线所成角为ā，则a的取值范围是什么？ 答案：0°≤a≤90°. 2.直线与平面垂直及其判定定理 (1)直线1与平面a垂直的充要条件是直线1与平面a内的任意直线 都垂直. 符号表示：1⊥a台mca,1⊥m. (2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个 平面垂直 mc a,nc a, 符号表示： m n≠0，→11a. ILm,l⊥n 思考3：一条直线与一个平面内两条平行直线垂直，那么这条直线与这 个平面是什么位置关系？ 答案：相交或平行或直线在平面内. 3.直线与平面垂直的性质 (1)如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直 线也垂直于这个平面， 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 符号表示：1∥m,1⊥a→m⊥a. (2)如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 符号表示：1⊥a,m⊥a→1∥m. (③)如果两个平行平面中有一个平面和一条己知直线垂直，那么另一 个平面也与这条直线垂直. 符号表示：a∥B,1⊥a→1⊥B. 思考4：在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排排电线 杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？ 答案：平行 4.直线与平面垂直的应用 (1)如果A是平面a外一点，B,C是平面a内两点，AB⊥a,AC与a不垂 直，则称AB是平面a的垂线段，B是垂足，AC是平面a的斜线段，C是 *独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 驱身边的互联网+教辅专家 斜足，直线AC是平面α的斜线，直线BC为直线AC在平面α内的射影 ∠ACB为直线AC与平面α所成的角 (2)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线。 平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影． ∘拓展总结… (1)①过空间中一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． ②过空间中一点和已知直线垂直的平面有且只有一个。 (2)①设空间中两条直线所成角为α，则0°≤α≤90°． ②两条异面直线所成角为β，则0°〈β≤90^°． ③斜线与平面所成角为γ，则0°〈γ<90°． (3)特殊几何图形的点的射影问题： ①正棱柱上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心。 ②正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。 ③正棱台上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心。 ④圆锥顶点在底面的射影是底面圆心。 ⑤圆台上底面圆心在下底面的射影是下底面圆心 ⑥球心在球的任意截面上的射影是截面圆心。 =师生互动·台作探究 ⑩探究点二求异面直线所成的角 ___独家授权侵权必究_ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [例1]己知圆柱的母线长与底面的半径之比为√2：1，四边形ABCD为 其轴截面，若点E为上底面的中点，求异面直线DE与B所成角的 大小. 解：因为AB∥CD, 所以∠EDO为异面直线DE与AB所成的角，设CD的中点为O,过点E作 EF⊥底面圆于F,连接OE,OP,如图所示. 因为E是金的中点， 所以F是的中点，所以CD⊥OF, 又因为EF⊥圆O,所以EF⊥CD, 因为EF∩OF=F,O