11.3 空间中的平行关系-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习全书word（人教B版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 11.3空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 学习目标 1.通过学习空间中两条直线平行的判定与性质，掌握其判定与性质， 提升逻辑推理的核心素养。 2.通过学习等角定理，理解并掌握等角定理，并会应用，培养直观想象 的核心素养. 3.理解异面直线的定义，会画两条异面直线，提升空间抽象的核心素 养 知识梳理·自主探究 ②)知识探究 1.平行直线 (1)过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行： (2)空间平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行， ab 符号表示： bc →a∥c 思考1：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 答案：两种.平行与相交 2.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同， 那么这两个角相等， ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 B A 思考2：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关 系？ 答案：相等或互补 3.异面直线 两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在任何一个平面内. 图1) 图2) 图3) 思考3：在空间中，两条直线有几种位置关系？ 答案：三种.平行、相交、异面 4.空间四边形 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都 是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边， 连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线， Q拓展总结 空间中两条直线的三种位置关系： (1)从是否有公共点的角度来分： ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∫平行， 没有公共点异面。 有且仅有一个公共点一一 相交 平行， 在同一平面内相交： (2)从是否共面的角度来分： 不同在任何一个平面内 一一异面」 师生互动·合作探究 ②探究点一 空间平行线的传递性的应用 [例1]如图，E,F分别是长方体AB1CD-ABCD的棱A1A,CC的中点. D 求证：四边形BEDF是平行四边形. 证明： D 如图，取DD1的中点Q,连接EQ,QC1, 因为E是AA1的中点， 所以EQLAD, 又因为在矩形AB1CD1中，AiD1BIC1, 所以EQLB1C, 所以四边形EQCB1为平行四边形， 所以BELCiQ. ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 因为Q,F是矩形DDCC的一组对边的中点， 所以QDLCF, 所以四边形DQCF为平行四边形， 所以C1QLDF. 又因为BELCIQ, 所以BELDF, 所以四边形BEDF是平行四边形 。方法总结 空间平行线的传递性可以作为判断两直线平行的依据，同时也是空间 两直线平行的一种证明方法。 [针对训练]如图，在三棱锥SMNP中，E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP 的中点，则EF与HG的位置关系是() A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 解析：因为E,F分别是SN和SP的中点， 所以EF/PN.同理可证HG∥PN, 所以EF∥HG. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 故选A. @探究点二 异面直线的判断 [例2]如图所示，点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱 的中点，则直线PQ与S是异面直线的是() 解析：在A,B中，PQ∥RS,在D中，PQ和RS相交.故选C. Q方法总结… 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不 相交，也不平行，就是异面直线。 [针对训练]如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异 面直线共有 对 解析：PA与BC,PB与AC,PC与AB互为异面直线，所以异面直线共有3 对 答案：3 [备用例题] a 独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 驱身边的互联网+教辅专家 如图，a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，E，F分别是线段AC和BD的中 点，判断EF和a，EF和b的位置关系，并证明你的结论。 解：假设EF和a共面，设这个平面为a，则EF⊂a，aca， 所以A，B，E，F∈a，所以BFCa，AECa， 又因为c∈AE，D∈BF，所以C，D∈α，于是bCαa． 从而a，b共面于a，这与题设条件a，b是异面直线相矛盾。 所以EF和a共面的假设不成立，所以EF和a是异面直线。 同理可得EF和b也是异面直线。 ⑩探究点三空间两条直线位置关系的判定 [例3]如图，已知正方体ABCD-A_1BC4