10.3 复数的三角形式及其运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习全书word（人教B版）

学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 *10.3复数的三角形式及其运算 学习目标 1.初步进行两者之间的互化，了解复数模与辐角的定义，会求复数的 模与辐角主值，培养逻辑推理、数学运算的核心素养， 2.通过复数乘、除运算法则的学习，了解复数乘、除运算的三角形式 及其几何意义，培养直观想象、数形结合的核心素养， 知识梳理·自主探究 ②知识探究 1.复数的三角形式 (1)非零复数z=a+bi(a,b∈R)的三角形式： r(cos0+isin0)(其中非零复数z=a+bi在复平面内对应点Z (a,b),且r为向量Oz的模，0是以x轴正半轴为始边、射线0Z为终 边的一个角) (2)复数的辐角： 复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量Oz与x轴的正方向所成的角0，即 为复数z的辐角，特别地，在[0,2)内的辐角称为z的辐角主值，记作 arg Z, 其中r为向量的模，cos0=票，sin0-=是 思考1：在复数的三角形式中，辐角0的值应如何表示？ 答案：在复数的三角形式中，辐角0的值可以用弧度表示，也可以用角 度表示，可以是主值，也可以是主值加2k兀或k·360°(k为整数)，但 ·独家授权侵权必究 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 驱身边的互联网+教辅专家 为了简单起见，当复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成辐 角主值。 2.复数三角形式的运算法则 z_1=r_1(cosθ_1+isinθ_1)，z_2=r_2(cosθ_2+isinθ2) (1)复数的乘法：z_1z2=xx2[cos(θ+02)+1sin(θ+θ)1 (2)复数的乘方：zn=[r(cos0+isinθ)]=x”[cos(nθ)+isin (nθ)]。 (3)复数的除法：号号[cos(0-θ-)+isin(0-^θ)1 思考2：复数乘法的几何意义是什么? 答案：设复数z_1z_2在复平面内对应的向量分别为OZ_20z_z将OZ_x绕 原点旋转θ_2，再将OZ_4的模变为原来的r_2倍，如果所得的向量为oZ 则oz对应的复数即为z_1z2 =师生互动·台作探究 ⑩探究点二、非零复数的三角形式 [例1]把下列复数的代数形式化成三角形式 (1)\sqrt{3}+i； (2)，2-\sqrt{2}i。 解：(1)r=\sqrt{3}+1=2， 因为\sqrt{3}+i在复平面内对应的点在第一象限， 所以cosθ=4，即θ告， 所以\sqrt{3}+i=2(cost+isin) (2)r\sqrt{2}+2=2，cs0=4 ______独家授权侵权必究_ 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又因为√2√2i在复平面内对应的点位于第四象限， 所以0=妥， 所以y22i=2(cos妥+isin妥). Q方法总结… 将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos0+isin 0)(r>0),可按如下步骤进行： (1)求0和r,其中r√+b2,cos0-=是，sin0=9; (2)写出z的三角形式. [针对训练]下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示 成三角形式. (1)(cos平-isin谭)： (2)-(cos号+isin): (3)(sin评+icos): (4)cos+isin 解：根据复数三角形式的定义可知，(1)(2)（③）不是，(4)是复数的三角 形式 (1)原式[cos()+isin()] (2)原式[cos(r+号)+isin(π+号)]-(cos钙+isin钙) ③)原式-[cos(受)+isin(受-妥)]=[cos()+isin()]. [备用例1]已知复数z的模为2，实部为3，求复数z的代数形式和 三角形式 ·独家授权侵权必究· 学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解：法一 先求代数形式， 令zV5+bi(b∈R), 因为z=2,所以√3+b2=2,解得b=±1. 所以z5+i或z3-i. 化为三角形式 z2(cos晋+isin晋)或z=2[cos()+isin()]. 法二先求三角形式，令z=2(cos0+isin0). 因为z的实部为3，所以2cos05, 即cos0-号， 所以辐角主值θ为芳或号π， 所以z=2(cos晋+isin)或z=2(cosg+isin). 化为代数形式，得z3+i或z3-i. )探究点二复数的模及辐角主值 [例2]求复数z=1+cos0+isin0(元<0<2r)的模与辐角主值. 解：z=1+cos0+isin0=1+(2cos2号-1)+2isin号cos号-2cos号(cos号 +isin号).① 因为r<0