10.1 复数及其几何意义-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习全书word（人教B版）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第十章 复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 学习目标 1.通过学习复数的概念，了解数的扩充过程，了解引进复数的必要性， 理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分 类，培养数学抽象的核心素养 2.通过学习复数的概念及例题，掌握复数相等的定义，并能应用这一 定义解决有关问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养 知识梳理·自主探究 ②)知识探究 1.复数的有关概念 (1)复数的定义：一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数. (2)虚数单位：规定2=1，并称i为虚数单位. (3)复数的表示：z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的实部，b称为z的虚 部 2.复数的分类 (1)复数a+bi(a,b∈R) 实数(b=0), 广 纯虚数(a=0), 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0) (2)集合表示： ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 复数集C 虚数集 实数集R 纯虚 数集 思考：a+bi(a,b∈R)什么时候等于0？ 答案：a=0且b=0. 3.复数相等 任取两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),那么atbi=c+di→a=c且b=d. 。拓展总结一 把复数问题转化为实数问题是处理复数问题的一种重要方法，利用两 复数相等的定义是将复数问题转化为实数问题的重要途径.但要注意 在两个复数相等的定义中，前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R a=c, 时，abi=c+di台b=d,若忽略条件，则不能成立.因此，在解决复数 相等的问题时，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相 等的定义化复数问题为实数问题 师生互动·合作探究 公探究点一 复数的概念 [例1]给出下列三个命题：①若z∈C,则z2≥0：②2i-1的虚部是2i; ③2i的实部是0.其中真命题的个数为() A.0B.1C.2D.3 解析：当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，故①错误；2i-1的虚部为2， 故②错误；2i的实部是0，故③正确.故选B. 。方法总结 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 判断与复数有关的命题是否正确的方法： (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答 这类题型时，可采用“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法。 (2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a+bi的 形式，更要注意当a,b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部. [针对训练](1)复数-2i的实部与虚部分别是() A.0,2B.0,0 C.0,-2 D.-2,0 (2)以3i√2的虚部为实部，以32+√2i的实部为虚部的复数是 解析：(1)-2i的实部为0，虚部为-2.故选C. (2)3i√2的虚部为3,32+√2i=-3+V2i,实部为-3，故该复数为3-3i. 答案：(1)C(2)33i ②探究点二复数的分类 [例2]复数z=1g(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,试求当实数m分别取什么值 时，z分别为：(1)实数：(2)虚数；(3)纯虚数. m2+2m+1>0, 解：(1)由 m2+3m+2=0,得m=-2, 所以当m=-2时，z是实数 m2+2m+1>0, 2)由m2+3m+2≠0，得m≠-1，且m≠-2， 所以当m∈(-∞，-2)U(-2,-1)U(-1,+∞)时，z是虚数. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (m2+3m+2≠0， (3)由题意得lg(m2+2m+1)=0, (m2+3m+2≠0， 即m2+2m+1=1 解得m0, 所以当m0时，2是纯虚数. 。方法总结 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的 条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z=a+bi(a,b∈ R)为纯虚数的充要条件是a0,且b≠0. [针对训练]己知m∈R,复数zmm+2+(m2+2m3)i,当m为何值时， m-1 (1)z为实数？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？ 解：(1）要使z为实数，需满足m2+2m30,且mm+2有意义，即m1≠0， -1 解得m=3. (②)要使z为虚数，需满足㎡+2m3≠0，且m2有意义，即m1≠0，解 得m≠1且m≠-3. (3)要使2为纯虚数，需满足mm+20,且 m-1 m2+2m-3≠0，解得m=0或m=-2. ②探究点三 复数相等 [例3](1)已知x2+y2-6+(xy-2)i=0,求实