3.4 复数的三角表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（湘教版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.4复数的三角表示 [日标导航] 核心知识目标 核心素养目标 1.了解复数的模和 1.通过复习复数的几何意义，认识复数的三角 辐角的定义， 表示，由复数代数形式与三角形式之间的联系， 2.会求复数的模 培养直观想象、逻辑推理的核心素养 3.能求出复数的三 2.在学习复数三角形式的乘、除运算的基础上， 角形式。 培养直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素 4.会进行复数三角 养 形式的乘除运算. 知识探究·素养启迪 ②知识探究 1.i2--1的几何意义 虚数单位ⅰ乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋 转90°. 2.旋转任意角 用cosa+isin a乘任意复数z,其几何意义是：将复数z对应的平面 向量旋转角a. 3.复数的三角表示 (1)辐角：如图，将任意复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内用对应的向量 0P表示，则0P=r√仔+b2. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 将以x轴的正半轴为始边，以OP为终边的角0，称为复数za+bi的辐 角，记作argz=0. 若0是z的一个辐角，则z的全部辐角argz0+2kr(k∈Z). 0 (2)三角形式：abi=r(cos0+isin0). 其中r√a+b2,cos0=是，sin0=是， 将r(cos0+isin0)称为复数a+bi的三角形式. (3)两个复数z1|z(cos0+isin01),z2 z2(cos02+isin02)相等的充分必要条件是 z1=z2=0,或z1=z2>0且0201+2k元，k∈Z. 4.复数三角形式运算 (1)复数z1r1(cos01+isin01)与z2r2(cos02+isin02)的乘法 公式 Z1.Z2=rir2[cos(01+02)+isin(01+02)1. (2)棣莫弗公式：[r(cos0+isin0)]m-rn(cosn0+isin n0),其 中n∈N (③)两个复数z1,z2(2≠0)的除法公式： 号器号[cs(001sin0-0, 公小试身手 ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书顺° 您身边的互联网+教辅专家 1.复数1+\sqrt{3}i化成三角形式，正确的是(B) A.2(cos于+isin等)B.2(cos于+isin于) C.2(cos于+isin号)D.2(cos^些+isin世) 解析：r=2，cosθ主，复数对应的点在第一象限，所以arg(1+\sqrt{3}i)于 所以1+\sqrt{3}i=2(cos于+isin)。故选B 2.复数1-\sqrt{3}i的一个辐角是(A) A.号B.乎c.詈D.于 解析：因为1-\sqrt{3}i=2(}-+i)=2(cos号+isin号)，所以1-\sqrt{3}i的一 个辐角为号。故选A。 3.将复数1+i对应的向量oM绕点O按逆时针方向旋转季，得到的向量 为OM_2那么OM_2对应的复数是_（用代数形式表示） 解析：oM_对应的复数是(1+i)(cs1sn∦)率(1+i)^2\sqrt{2}i 答案：\sqrt{2}i 4.计算3(cos于+isin号)×4(cos晋+isinπ)= 解析：3(cos于+isin于)×4(cosξ+isin号) =12[cos(+)+isin(+∦)]=12i. 答案：12i 课堂探究·素养培育 ⑩探究点二复数的三角形式 [例1]将下列复数化为三角形式。 (1)2(cos-isin)； (2)2(-cos∦+isi)； _____独家授权侵权必究_ 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 (3)3+i: (④V2V2i. 解：(1)2(cos号-isin) 2[cos()+isin()]. (2)2(-cos号+isin')=2(cos弩+isin弩). (3)r3+1=2,因为V3+i对应的点在第一象限， 所以cos0=9,sin0-,即0-晋， 所以√3+i=2(cos晋+isin). (④r2+2-2,cos0-9, 又因为√2√2i对应的点位于第四象限， 所以0-牙。 所以W2√2i-2(cos妥+isin妥)， 。方法总结 将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos0+isin 0)(r>0),可按如下步骤进行： (1)画图，并标出r和0. (2)求0和r,其中r√+b,cos0=是， sin0=是. (3)写出复数z的三角形式. [即时训练1-1]复数z=isin10°的三角形式是() A.cos10°+isin10° ·独家授权侵权必究