1.5 向量的数量积-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（湘教版）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.5向量的数量积 1.5.1数量积的定义及计算 [目标导航] 核心知识目标 核心素养目标 1.了解平面向量数量积 的物理背景。 1.通过理解平面向量数量积的物理背景，学 2.掌握平面向量数量积 习向量的夹角及数量积的概念及几何意义， 的定义、性质、运算律， 进一步体验数学抽象、直观想象及数学运算 理解其几何意义. 的核心素养。 3.会用两个向量的数量 2.通过向量的数量积求向量的模、向量的夹 积求两个向量的夹角以 角以及判断两个非零向量是否垂直，培养逻 及判断两个向量是否垂 辑推理、数学运算的核心素养。 直. 知识探究·素养启迪 忽知识探究 1.数量积的定义 (1)设a,b是任意两个向量，<a,b>是它们的夹角，则定义a· b=a|bcos<a,b>为a与b的数量积 (2)a·b-0曰a⊥b. 2.投影 (1)投影向量：如图，作向量OA-a,OBb,两个向量的夹角为a,过点B 作BB1⊥OA于点B1,则OBOB1+BB,其中OB1与OA共线. ·独家授权侵权必究+ 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 B 0<Q B 0 (2) 把OB1称为OB在OA方向上的投影向量，投影向量的长度OB1=OB |cosa称为投影长 (2)b在a方向上的投影blcos a=司. 3.数量积的运算律 设a,b,c是任意向量，入是任意实数，则如下运算律成立： (1)交换律：a·b=b·a. (2)与数乘的结合律：a·（xb)=入(a·b). (3)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c. 公小试身手 1.己知a=4,b=2,当它们之间的夹角为时，a·b等于(B) A.43B.4C.83D.8 解析：根据向量数量积的定义得a·b=a|b·cos<a,b>4×2×cos 号=4.故选B. 2.已知a=2,b=l,a与b之间的夹角为60°，那么向量ab2等于 (C) A.2 B.23C.3D.6 解析：ab2=a2-2a·b+b2=22-2×2×1×cos60°+12=3.故选C. 3.若|a=l,b√2，且ab与a垂直，则a与b的夹角等于」 ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 眼身边的互联网+数轴专家 解析：设a与b的夹角为θ， 因为a-b与a垂直， 所以(a-b)·a=0，即a^2-b·a=0. 所以a·b=a^2=|a|^2=1. 所以cosθ端方平。 因为0°≤θ≤180°，所以θ=45°． 所以a与b的夹角为45°． 答案：45° 4.已知|b|=5，a·b=12，则向量a在向量b方向上的投影向量为_ 解析：因为与b方向相同的单位向量为备一b，设a与b的夹角为θ， 则cosθ=端，所以|a|cosθ背号， 所以向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cosθ·向号·b=景 b。 答案：抬b 课堂探究·素养培育= ⑩探究点二平面向量数量积概念的应用 [例1]（1)已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60°，求(a +2b)·(a+3b)； (2)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2，求：①a·b；②(a +b)·(a-2b)． 解：(1)(a+2b)·(a+3b) ______独家授权侵权必究_ 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量o.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 =a·a+5a·b+6b·b =a2+5ab cos 60+6b|2 =62+5×6×4×c0s60°+6×42-192. (2)①由已知得a·b=ab·cos0= 4×2×c0s120°=-4. ②(ab)·(a-2b)=a2-a·b-2b2 =16-(-4)-2×4=12. 。方法总结 利用定义求向量数量积的方法 求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准 确求出两向量的夹角是求数量积的关键. [即时训练1-1]己知正三角形ABC的边长为1，求： (1)AB·AC;(2)AB·Bc:(3)BC·AC 解：(1)因为AB与AC的夹角为60°， 所以AB·ACAB|ACIcos60°=1X1×, (2)因为AB与BC的夹角为120°， 所以AB·BC=|AB|BClcos120°=1X1×()=: (3)因为BC与AC的夹角为60°， 所以BC·AC=Bc|ACIcos60°=1×1×. ②探究点二 求投影向量 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [例2]己知a=4,e为单位向量，它们的夹角为受，则向量a在向量e 方向上的投影向量是 向量e在向量a方向上的投影向量