1.4 向量的分解与坐标表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（湘教版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.4向量的分解与坐标表示 1.4.1向量分解及坐标表示 1.4.2向量线性运算的坐标表示 [目标导航] 核心知识目标 核心素养目标 1.理解平面向量基本定 理的内容，了解向量一组 基的含义. 2.在平面内，当选定一组 基后，会用这组基来表示 1.通过平面向量基本定理的应用，强化直 其他向量 观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养 3.会应用平面向量基本 2.借助平面直角坐标系及平面向量基本 定理解决有关平面向量 定理，学会平面向量的坐标表示，体会数 的综合问题. 学抽象及直观想象的核心素养。 4.了解平面向量的正交 3.通过平面向量加减运算、数乘运算的坐 分解，掌握向量的坐标表 标表示及平面向量共线的坐标表示，发展 示 逻辑推理及数学运算的核心素养. 5.掌握两个向量和、差及 数乘向量的坐标运算法 则。 6.正确理解向量坐标的 ·独家授权侵权必究· 5学科网书城°。品牌书店·知名教辅·正版资源 =知识探究·素养启迪 ⑩知识探究 1.平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：设e_1e_2是平面上两个不共线向量，则 ①平面上每个向量ν都可以分解为e_，e_2的实数倍之和，即v=xe_1+ye_2 其中x，y是实数。 ②实数x，y由v=xe_1+ye_2唯一决定。也就是： 如果v=xe_1+ye2=x′e1+y′e2，则x=x′，y=y′。 (2)称不共线向量e_1e_2组成平面上的一组基{e]，e2}，分解式v=xe_1 +ye_2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为ν在这组基下的坐标。 记为v=(x，y)。 2.平面向量的正交分解与坐标表示 (1)正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正 交分解。 (2)坐标表示：平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基， 记作{i，j)，显然i=(1，0)，j=(0，1)． 建立平面直角坐标系，若平面向量v的坐标是(x，y)，我们视其为ν在 x轴、y轴正方向上的单位向量e1，e_2组成的基下的坐标，即v=xe_1 +ye2=oP。其中点P的坐标为(x，y)。 _______独家授权侵权必究_ 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)结论：设单位向量e1,e2的夹角<e1,e2>-90°，非零向量v的模 v=r且<e,v>=a,则v=(r cos a,r sin a). 3.向量线性运算的坐标表示 (1)向量加法、减法运算的坐标表示：两个向量a=(x1,y),b=(x2,y2)的 和（或差）的坐标等于这两个向量相应坐标的和（或差），即a土b (x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2). (2)向量数乘的坐标表示：一个实数入与向量a=(x,y)的积的坐标等于 这个数乘以向量相应的坐标，即入a=入(x,y)=（入x,入y). (3)在平面直角坐标系中，向量PQ的坐标等于终点Q的坐标(x2,y2)减 去起点P的坐标(x1,y1),即PQ(x2x1,y2y1).线段PQ的中点坐标公 式为”，). (④)向量AB(x1,y),CD=(x2,y2)平行（也就是共线），可以直接用 (x,y1)∥(x2,y2)来表示.(x1,y)∥(x2,y2)台x1y2y1X20. ②小试身手 1.下列说法正确的是(B) A.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量 的基 B.若e,e2是同一平面内两个不共线向量，则入1e1+入2e2(入，入2为实 数)可以表示该平面内所有向量 C.若ae1tbe2ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b-d D.若一组向量中含有零向量，则该组向量也可以作为平面内的基向量 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 解析：A.根据基的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面 内向量的基，错误； B.正确. C.错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立. D.由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为平面内的 基向量，结论错误.故选B. 2.(多选题)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于( AB A.2B.2C.4D.0 解析：因为a∥b,所以m2=2,解得√2或m√2.故选AB. 3.已知P(2,6),Q(-4,0),则PQ的中点坐标为 解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(-1,3. 答案：(-1,3) 4.己知AB(1,2),A(3,4),则B点坐标是 解析：设B点的坐标为(x,y), 则AB=(x-3,y4)=(1,2) x-3=1,∫x=4, 所