7.1.2 全概率公式-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.2全概率公式 ● 问题导入 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一 些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，再看 一个求复杂事件概率的问题. 问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为a那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这 个概率呢？ 因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是。但是这个结果并 a+b 不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导. 新知探索．━___――—― 用R_i表示事件“第i次摸到红球”，B_i表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2. 如图所示，事件R_2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的 并，即R_2=R_1R_2∪B_1R_2.利用概率的加法公式和乘法公式，得 P(R_2)=P(R_1R_2∪B_1R_2)=P(R_1R_2)+P(B_1R_2) =P(R_1)P(R_2|R_1)+P(B_1)p(R_2|B_1) =a+b^×aab-1+a+b^×a+b-1-a+b P(B_1)“B_1-HB_2/B)-B_2----B_1B： 新知探索 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件 的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 一 般地，设A1,A2,,An是一组两两互斥的事件，A1UA2U…UAn=2, 且P(A)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件Bc2, 有P(B)=1P(A)P(BA) 我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一 新知探索 辨析1.判断正误。 (1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥.（) (2)对任意事件B二2，全概率公式P(B)=∑1P(A)P(BA)都成立.（) 答案：X,√ 辨析2.从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1，…，X中任取一个数，记 为Y,则P(Y=2)= 答案： 新知探索 辨析3.从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不放回， 第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率为 答案： 例析 例4某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第 1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A 餐厅用餐”，则2=A1UA2,且A1与B1互斥.根据题意得： P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2A1)=0.6,P(A2B1)=0.8. 由全概率公式，得 P(A2)=P(A1)P(A2A1)+P(B1)P(A2IB1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7. 因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7. 例析 例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次 品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.己知第1,2,3台机床加工的零件数分别 占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； 解：设B=“任取一个零件为次品”，A:=“零件为第台机床加工(i=1,2,3)”, 2=A1UA2UA3,且A1,A2,A3两两互斥.根据题意得， P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45, P(B|A1)=0.06,P(B1A2)=P(B1A3)=0.05. (1)由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)+P(A3)P(BA3) =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525. 例析 例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次 品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台机床加工的零件数分别 占总数的25%，30%，45%. (2)如果取到的零件是次品，计算它是第(i=1,2,3)台机床加工的概率. (2)“如果取到的零件是次品，计算它是第(=1,2,3)台机床加工的概率”，就是 计算在B发生的条件下，事件A:发生的概率. P(AB 0= P(A1B) P(A1)P(BIA1)_ 0.25×0.06 2 Al P(B) P(B) 0.0525 A3 A3B AB A2B 类似地，可得P(A21B)=P(A3lB)=三 B A2 例析 问题2.例5中，P(A_i)，P(A_；|B)的实际意义是什么? P(A)是实验之前就已知的概率，它是第台机床加工的零件所占的比例，称为先 验概