第五章章末优化总结 -【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版）

章末优化总结 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 　导数的运算与导数的几何意义 [例1]　已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； [解析]　(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 1.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点． 2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到. 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 [跟踪训练1]　已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为f(x)的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是(　　) A．f′(x1)<f′(x2) B．f′(x1)>f′(x2) C．f(x1)<f′(x2)<0 D．f(x1)>f′(x2)>0 B 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 解析：由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，并结合图象知f′(x1)>f′(x2)>0，而f(x1)<0<f′(x2)，故选B. 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点.其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定，经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体. 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 [跟踪训练2]　已知函数f(x)＝x3＋mln x在区间[2,3]上不单调，则m的取值范围是____________． (－81，－24) 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 　利用导数求函数的极值和最值 [例3]　已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3. (1)设a＝1，求函数f(x)的极值； [解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－3x2－9x＋1且f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3. 当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<3时，f′(x)<0，因此x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝6；当－1<x<3时，f′(x)<0，当x>3时，f′(x)>0，因此x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－26. 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 1.极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另外函数有极值未必有最值，反之亦然． 2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号： 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值. 人教A版数学选择性必修第二册 专题提能 知识网络 [跟踪训练3]　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； 解析：(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过点(1,0)，即－2＋b＝0，b＝2.