5．3 5．3.1　函数的单调性 -【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版）

5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 学习目标 知识导图 1.理解导数与函数的单调性的关系．(数学抽象) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(数学运算) 3．会用导数求函数的单调区间，能够根据函数的单调性求参数．(逻辑推理、数学运算) 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 1．函数的单调性与导数有什么关系？ 2．函数值变化快慢与导数有什么关系？　　　 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 [知识梳理] 知识点一　函数的单调性与导数的关系 1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系 在某个区间(a，b)上的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 函数f(x)在(a，b)上_________ f′(x)<0 函数f(x)在(a，b)上_________ 单调递增 单调递减 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一个函数f(x)在某一范围内导数的绝对值为|f′(x)|，则 |f′(x)| 函数值的变化 函数的图象 越大 在这一范围内变化得较快 比较“陡峭” (向上或向下) 越小 在这一范围内变化得较慢 比较“平缓” 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 微思考 1．“若函数y＝f(x)在区间(a，b)上恒有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上单调递增”，反之，若f(x)在(a，b)上单调递增，能推出在(a，b)上恒有f′(x)＞0吗？ 提示：不能，若f(x)在(a，b)上单调递增，则在(a，b)上恒有f′(x)≥0. 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 2．“若函数y＝f(x)在区间(a，b)上恒有f′(x)＜0，则f(x)在(a，b)上单调递减”，反之，若f(x)在(a，b)上单调递减，能推出在(a，b)上恒有f′(x)＜0吗？ 提示：不能，若f(x)在(a，b)上单调递减，则在(a，b)上恒有f′(x)≤0. 3．在(a，b)上存在f′(x)恒等于0的函数吗？ 提示：存在，这样的函数是常数函数f(x)＝c. 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 知识点二　利用导数判断函数y＝f(x)的单调性的基本步骤 第1步，确定函数的 ； 第2步，求出导数f′(x)的________； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 定义域 零点 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 微练习 函数y＝x－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1]　　　　　　 B．(0，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0,1] D 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 　导数与函数图象的关系 [例1]　(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象 之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则 该函数的图象是(　　) B 人教A版数学选择性必修第二册 关键能力 互动探究 必备知识 自主探究 课时作业 巩固提升 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 [解析]　(1)在区间(－1,1)上，f′(x)＞0，因此函数y＝f(x)在区间(－1,1)上为增函数，易知四个选项都符合．在区间(－1,0)上，f′(x)单调递增，故y＝f(x)在区间(－1,0)上增加得越来越快，函数图象应为指数增长的模式；在区间(0,1)上，f′(x)单调递减