4．2　4.2.5　正态分布 -【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教B版）

4.2.5　正态分布 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [学习目标] 1．了解正态曲线和正态分布的意义． 2．理解正态曲线的性质． 3．明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线的影响． 4．了解3σ原则，会用正态分布解决实际问题． 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [情境与思考] 小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸(单位：cm)服从正态分布N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？ 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 正态曲线 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 2．正态曲线的性质 (1)正态曲线关于 对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为 ； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越 ，所以曲线越“ ”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越 ，所以曲线越“ ”． x＝μ 弱 胖 强 瘦 1 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 3．正态分布 一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～ ，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数，更进一步的研究表明，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差． 特别地，μ＝0且σ＝1的正态分布称为 ． N(μ，σ2) 标准正态分布 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 4．3σ原则 如果X～N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝ ， P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ， P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ， P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ . 最后的式子意味着，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约 的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“ 原则”． 50% 68.3% 95.4% 99.7% 0.3% 3σ 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 D 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 2．设X～N(10,0.64)，则D(X)等于(　　) A．0.8 B．0.64 C．0.642 D．6.4 解析：因为X～N(10,0.64)，所以D(X)＝0.64. B 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 3．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝________. 2 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 4．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________. 解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝μ＝10为对称轴知， P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4， 即P(10≤ξ≤11)＝0.2， 又P(ξ≥10)＝0.5， 所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3. 0.3 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学习 课时作业 知能提升 　正态曲线及其性质 [例1]　如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态分布密度曲线N(0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1>1>σ2>σ3>0　　　 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 D 人B数学 选择性必修第二册 课堂 互动探究 课前 自主学