5.3.1 函数的单调性（1）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性(1) 5.3 导数在研究函数中的应用 复习引入 通过前两节的学习，我们知道，导数是函数的瞬时变化率数学表示，它定量地刻画了函数的局部变化。本单元我们将利用导数定量地研究函数的单调性，极值，最值。进一步感受导数在研究函数的性质中发挥的工具性作用。 导数在研究函数中的应用 函数的极值 导数的综合应用 函数的最大（小）值 函数的单调性 单元知识框架 t h a O b (1) t h a O b (2) 思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 如何从数学上刻画这种区别? 观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升 状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加， 即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0. (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0. 思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们 能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 对于高台跳水问题，可以发现: 当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增； 当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减. 这种情况是否具有一般性呢? t h a O b (1) t h a O b (2) 思考3 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) x y O f (x)＝x (1) x y O f ′(x)＝1 在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 x y O f (x) ＝x2 (2) x y O f ′(x)＝2x 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, +∞)上， f ′ (x)0 x y O f ′ (x) ＝3x2 x y O f (x) ＝x3 (3) 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上，f ′ (x)<0 x y O (4) x y O 如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率，可以发现: x y O (x0, f(x0)) (x1, f(x1)) 思考4 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 在x=x0处f ′(x0)>0 函数y=f (x)的图象上升，函数在x=x0附近单调递增 切线是“左下右上”上升式 在x=x1处f ′(x1)<0 函数y=f (x)的图象下降，函数在x=x1附近单调递减 切线是“左上右下”下降式 函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 思考5如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 思考6 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性? f(x)仍为增函数. 例如: 对于函数y=x3，y′=3x2. 当x=0时，y′=0，当x>0和x<0时，y′>0， 函数y=x3在R上单调递增. x y O 思考7 在区间(a,b)内，f ′(x)>0（f ′(x)<0）是函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调递增（递减）的什么条件？ 充分不必要条件 例1 利用导数判断下列函数的单调性: 解： x y O (1) x y O (2) π -π 例1 利用导数判断下列函数的单调性: 解： x y O (3) 1