5.2.3 简单复合函数的导数 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.3 简单复合函数的导数 函数的加、减、乘、除的导数运算法则： 复习回顾 思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)). 函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数. 下面, 我们先分析这个函数的结构特点. 若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和 复合而成的一个复合函数. 把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1). 复合函数： 以下函数是由哪些函数复合而成的？ （1）y＝log2(x-1) （2）y＝(x+2)3 （3）y＝e－x＋1 y=log2u和u=x-1 y=u3和u=x+2 y=eu和u=－x+1 小试牛刀 4 思考 如何求复合函数的导数？ 以函数 y=sin2x 为例，研究其导数. (1)猜想y=sin2x 的导数与函数y=sinu，u=2x 的导数有关. 以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数, 以 u′x 表示 u 对 x 的导数 可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数 y′u=cosu, u′x =2 (2)可以换个角度来求 y′x ： y′x =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x 可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 概念形成 y′x＝y'u· u′x 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 例6 求下列函数的导数: 解： 解：函数 是y=18sinu 与 的复合函数 则 当t=3时， 它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s. 例7 某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm) ,关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义. 课本P81 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 课本P81 解： 课本P81 小结： 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)). 1. 复合函数： 2. 复合函数的导数法则： 一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 $