7.1 条件概率与全概率公式（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

7.1 条件概率与全概率公式 一、条件概率公式 1、定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设B和B互为对立事件，则 4、两点说明 （1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率； （2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。 二、全概率公式 1、全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. 2、全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 三、贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，． 题型一 利用定义求条件概率 【例1】（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 【变式1-3】（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 题型二 条件概率的性质及应用 【例2】（2023·全国·高二专题练习）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022春·广东佛山·高二统考期末）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，第一次取出的球是红球的概率（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022·高二课时练习）设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按： （1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率； （2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率. 题型三 全概率公式及其应用 【例3】（2023·全国·高二专题练习）盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022·高二单元测试）某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概