第一章§5　数学归纳法 -【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

*§5　数学归纳法 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [学习目标]　1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明简单的数学命题． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 预习教材，思考问题 问题1　与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法吗？ 提示　不是． 问题2　数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1吗？ 提示　不是． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 解析：当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D. D 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　) A．2　 B．3 C．5　 D．6 C 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 D 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 　 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与 有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取 值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； 正整数n 第一个 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当 时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． n＝k＋1 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [例1]　(1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(　　) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 (1)[解析]　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边所得的代数式为1＋2＋3. C 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [思维提升]　数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [跟踪训练1]　一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　) A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 解析：本题证的是对n＝1,3,5,7，…时命题成立，即命题对一切正奇数成立． B 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [思维提升]　 “归纳—猜想—证明”的解题步骤 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前