第一章§3　3．2　第2课时　等比数列前n项和的性质 -【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

第2课时　等比数列前n项和的性质 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [学习目标]　1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 预习教材，思考问题 问题1　若数列{an}为等比数列，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列吗？ 提示　a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q2(a3＋a4)，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 问题2　若数列{an}为等比数列，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列吗？ 提示　成等比数列． 问题3　若{an}是等比数列，前m项和为Sm(Sm≠0)，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是否成等比数列？若是等比数列，公比是什么？ 提示　数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比为qm. 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [自主练习] 1. 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是(　　) A．1 B．0 C．2　 D．－1 D 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 2. 等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是(　) A．28 B．48　 C．36 D．52 解析：由等比数列{an}的性质可得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍然成等比数列，∴(12－4)2＝4×(S3m－12)，解得S3m＝28. A 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 3. 等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝____________. 2 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 4. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于____________． 3∶4 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 na1 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [例1]　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 法一：由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [思维提升]　若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 等比数列前n项和的“片段和”性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋ (n，m∈N＋)． 2．若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． qnSm 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [例2]　(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝_________； (2)已知等比数列{an}的前4项和为1，且公比q＝2，求其前12项的和． (1)[解析]　由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列得(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63. (2)[解]　因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4S4＝24＝16，所以S8＝17. 又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列． 所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，即162＝S12－17，所以S12＝27