第一章§2　2．2　第2课时　等差数列前n项和的性质 -【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

第2课时　等差数列前n项和的性质 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [学习目标]　1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 预习教材，思考问题 问题1　等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 问题2　等差数列{an}中，其前n项和Sn，前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系？ 提示　数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [自主练习] 1．在等差数列{an}中，若S12＝150，则a1＋a12的值是(　　) A．12　　　 B．25　　　　 C．36　　　　　 D．48 B 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 解析：∵S15＝a1＋a2＋…＋a15＝15a8＝90，∴a8＝6. A 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________. 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 4．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝__________时，Sn取到最大值． 解析：∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0. ∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.故当n＝5或6时，Sn最大． 5或6 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 等差数列{an}的前n项和Sn的“片段和”性质 等差数列中依次k项之和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． [例1]　一个等差数列{an}的前n项和为25，前2n项和为100，求该数列的前3n项的和． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 法二：∵数列{an}为等差数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列， 即Sn＋S3n－S2n＝2(S2n－Sn)． ∴S3n＝3(S2n－Sn)＝3×(100－25)＝225. 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [思维提升]　恰当运用等差数列前n项和Sn的“片段和”性质可以简化运算． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [跟踪训练1]　已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A．130　　　　 B．170　　　　　 C．210　　　　 D．260 解析：利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)， 即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210. C 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [例2]　项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [思维提升]　等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 2 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 最小　 最大　 最大　 最小 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升