第一章§2　2．1　第2课时　等差数列的性质 -【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

第2课时　等差数列的性质 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [学习目标]　1.了解等差中项的概念.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 预习教材，思考问题 问题1　在等差数列{an}中，a3＝10，a4＝8，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？ 提示：因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 问题2　等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？ 提示　等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率． 问题3　若A是a与b的等差中项，如何用a和b表示A? 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [自主练习] 1．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是(　　) A．公差为d的等差数列 B．公差为5d的等差数列 C．非等差数列　 D．以上都不对 解析：由等差数列的定义知an－an－1＝d， 所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d. B 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 解析：a7－a2＝5d，即5d＝15，得d＝3. A 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 4．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________. 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 等差数列与一次函数的关系 从函数角度研究等差数列 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，它是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些________的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_______，即自变量每增加1，函数值增加d. 等间隔　 斜率 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 当______时，数列{an}为____________，如图甲所示． 当______时，数列{an}为____________，如图乙所示． 当______时，数列{an}为____________，如图丙所示． 　d>0 递增数列　 d<0　 递减数列 d＝0 常数列 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [例1]　(多选)下列判断正确的是(　 　) A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列 C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 BCD 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [解析]　A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B、C、D均正确． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [思维提升]　根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质． 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [跟踪训练1]　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 解析：∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0.∴数列中第一个负数项是第8项． B 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 等差中项 北师数学 选择性必修 第二册 课堂 素养提升 课前 自主学习 课时作业 知能提升 [例2]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个