专题10 数系的扩充和复数的概念-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册）

专题10 数系的扩充和复数的概念 1．复数的定义及其分类 ①定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定 ②复数的分类： 复数的分类 充要条件 集合表示 实数 虚数 纯虚数 且 2．复数相等 在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且 考点一 复数的有关概念 考点二 复数的分类 考点三 复数相等 考点一 复数的有关概念 例1．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【答案】C 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】A.，说法不正确； B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确； C.当时，是实数，说法正确； D.复数的虚部是1，说法不正确. 故选：. 练习1．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案. 【详解】复数的实部与虚部互为相反数， ，解得：， 故选：A. 练习2．（2022·湖南·校联考模拟预测）（多选）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，求出或， 结合，求出的值. 【详解】由条件知，， ∴， ∴或， ∵， ∴，或． 故选：ABD． 练习3．（2023·高三课时练习）若，则______． 【答案】 【分析】根据虚数单位的运算法则计算可得. 【详解】. 故答案为： 考点二 复数的分类 例2．（2023·全国·高一专题练习）设，“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：当时，为纯虚数，故充分； 当复数为纯虚数时， ，解得或，故不必要， 故选：A 练习1．（2023·高一课前预习）在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据复数的定义、复数的分类判断． 【详解】，是纯虚数，，0.618是实数，是虚数．故纯虚数的个数为2． 故选：C． 练习2．（2023·全国·高一专题练习）设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】② 【分析】求得判断①；求得判断②；求得判断③；求得判断④ 【详解】，则①判断正确；，则②判断错误； ，则③判断正确；，则④判断正确 故答案为：② 练习3．（2023·全国·高一专题练习）求实数的值，使得复数分别是： (1)实数； (2)纯虚数． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据复数为实数时解决即可；（2）根据复数为纯虚数时解决即可. 【详解】（1）由题知， 复数为实数当且仅当，即或， 所以当或时，复数为实数. （2）复数为纯虚数当且仅当，即， 唯一满足此条件的的值是， 所以当时，复数为纯虚数. 考点三 复数相等 例3．（2021春·陕西渭南·高二统考期末）若复数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数相等可得出关于实数的等式组，即可解得实数的值. 【详解】因为，则，解得. 故选：B. 练习1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，讨论实数m取何值时： (1)； (2)． 【答案】(1); (2)或. 【分析】（1）判断出，即可求得；（2）由得到，分类讨论，分别列方程，利用复数相等的条件即可求得. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以. 所以，所以恒成立. 即无论实数m取任何值，恒成立. 故. （2）因为，所以. 因为，， 所以或. 当时，有：，解得：； 当时，有：，解得：. 综上所述：或. 练习2．（2023·高一课时练习）定义运算：，若复数满足，求xy的值． 【答案】 【分析】根据运算：，化简，再利用复数相等求解. 【详解】解：因为运算：， 所以，即为，则， 因为， 所以，则. 练习3．（2022·高三课时训练）已知实数m满足，求m及x的值． 【答案】，. 【分析】方程变形得，由复数相等列式求解即可 【详解】实数m满足，则， ∴，解得，. 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据题意和纯虚数的概念可得，解之即可. 【详解】因为为纯虚数，