专题17 因式分解的应用-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题17 因式分解的应用 1．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和______． 【答案】          42cm 【分析】（1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）由题知，，， ∴， ∵， ∴， ∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 即42cm． 故答案为：42cm． 【点睛】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． 2．某超市内售卖A，B，C，D四种水果，其中A，B两种水果的单价相同，D种水果的单价是C种水果单价的6倍，上午时段，A，C两种水果的销量相同，B种水果的销量是D种水果的6倍，结果上午时段A，B两种水果的总销售额比C，D两种的总销售额多198元，且四种水果上午时段的单价和销量均为正整数，到了下午的时候，由于D种水果新鲜度下降，摊主便将D种水果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果下午时段除了B种水果销量下降了，其他几种水果的销量跟上午一样，若A种水果与C种水果的单价之差超过8元但不超过14元，B种水果和D种水果上午时段的单价之和不超过40元，则下午时段四种水果总销售额最多为_____元． 【答案】 【分析】首先设A，B两种水果的单价为y元，C种水果单价为x元，A种水果的销量为a，D种水果的销量为b，可得D种水果的单价为元，C种水果的销量为a，B种水果的销量为，根据题意列出不等式，由上午时段的单价与销量均为正整数确定出各参数的值，再代入下午时段的总销售额确定出最大值即可． 【详解】解：设A，B两种水果的单价为y元，C种水果单价为x元，A种水果的销量为a，D种水果的销量为b， 则D种水果的单价为元，C种水果的销量为a，B种水果的销量为， 根据题意，得， ∵上午时段A，B两种水果的总销售额比C、D两种水果的总销售额多198元， ∴， ∴， ∵四种水果上午时段的单价与销量均为正整数， ∴，或，， 再由，可得或3或2或1， 当，时，此时或15或13或11； 或或； 当，时，此时或17或15或13； 或； 下午时段四种水果总销售额为元， 如果总销售额最多，那么，， 此时销售额（元）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，根据不等式确定方程整数解的应用，解题关键是：（1）理清各数量间的关系，正确列出方程及不等式；（2）确定出方程的整数解． 3．对于二次三项式（m、n为常数），下列结论： ①若，且，则； ②若，则无论x为何值时，都是正数； ③若，则： ④若，且，其中a、b为整数，则m可能取值有10个． 其中正确的有______．（请填写序号） 【答案】②③④ 【分析】根据完全平方公式可以得a2=36，从而得出，于是易判断结论①；根据得出，通过配方将多项式变形为判断②说法正确；利用多项式乘多项式化简对比系数可判断③；利用因式分解的方法对各种类型进行分析即可判断④． 【详解】解：①若n=36，且x2+mx+n= ，则有x2+mx+36=x2+2ax+a2， a2=36， 解得：a=， 故①说法错误； ②m2<4n， ， 故无论x为何值时，都是正数， 故②说法正确； ③x2+mx+n= ， x2+mx+n=x2+(a+3)x+3a， m=a+3，n=3a， 3m-n=3(a+3)-3a=3a+9-3a=9 故③说法正确； ④n=36，且x2+mx+n= ， x2+mx+36= ， ，n=36， a、b为整数， 相应的数对为：-1和-36，1和36，-2和-18，2和18，-3和-12，3和12，-4和-9，4和9，-6和-6，6和6共10对，因此m的值可能有10个， 故④说法正确． 综上所述，正确的说法有：②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，难点在于判断多项式值的情况时，往往需要将多项式进行变形，将其变成一个或几个式子平方与某一代数式的和形式，配方是配二次三项式中一次项系数一半的平方． 二、解答题 4．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值 解：原式          ∵ ∴当x=6时，的值最小，最小值为0 ∴ ∴当