专题14 和旋转有关的综合大题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题14 和旋转有关的综合大题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线，若将绕平面内一点P顺时针旋转后恰好能与重合，则称点P为关于的“顺合点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点，，中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______；如图2，已知直线与直线交于点A，点C，D是直线上不重合的两点，．位于直线右侧的一点P是关于的“60°顺合点”，，连接PC，PD．点B在上，连接BP，若且，则______． 3．【背景】如图1所示，点在线段上，分别以为一边，在线段的上方，作等边三角形和等边三角形，连接，它们交于点． 容易判断，与的数量关系为____________________，它们所夹锐角的大小为__________度． 【探究】把图1中的等边三角形绕点逆时针旋转一定角度，变成图2，线段的延长线与交于点．请你判断与的数量关系及的大小，并给出证明过程． 【应用】如图3所示，点在线段上，，在的上方作等边三角形（的大小和位置可以改变），连接．请直接写出的最小值，不用表述理由． 4．在中于点． (1)如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数； (2)如图2，点、分别在线段、上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点、均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并简要说明理由； (3)在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度，记旋转中的为（如图3）．在旋转过程中，直线与直线交于点，与直线交于点．若，是否存在这样的、两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由． 5．在中，，． (1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：． 6．【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板的直角顶点O放置在另一块直角三角板的斜边的中点处，并将三角板绕点O任意旋转． (1)【发现结论】当三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点P，Q时（规定此时点P，Q分别在边上运动）． ①如图1，当时，与的数量关系为_________； ②小组成员发现当与不垂直时（如图2所示），与之间仍然存在一个数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由； ③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形的面积始终保持不变，请你判断嘉淇的结论是否正确，并说明理由；若，求出四边形的面积； (2)【探究延伸】如图3，连接，直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，若，直接写出线段长的最小值和最大值． 7．在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F． (1)如图1，当旋转时，若，求的长； (2)如图2，当旋转时，连接，恰好使，延长交于点E，连接，求证：； (3)如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积． 8．如图1—图3所示，是直角三角形，，．点是射线上的一点，点是射线上的一点，且，把点绕点逆时针旋转落在点处，直线和直线相交于点． (1)当点与点重合时，点必然落在上，且点与点重合，如图2所示，请你直接写出此时线段与线段的数量关系及的大小． (2)当点在如图1所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？如果成立，请给出证明过程；如果不成立，请说明理由． (3)当点在如图3所示的位置时，（1）中关于线段和线段的数量关系及大小的结论还成立吗？请直接给出结论，不用说明理由． 9．如图1，在和中，，，且，则可证明得到． (1)【初步探究】如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转60°得到，连．请写出与的数量关系并说明理由； (2)【深入探究】如图3，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长； (3)【拓展探究】如图4，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，则长为______． 10．【问题提出】在一节数学课上，王老师提出了一个数学问题： 如图1-1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度数． (1)【问题探究】针对这个问题，某学习小组进行了如下尝试：如图1-2，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到，连接，得到等边．请根据该小组探究的思路求出∠APB的度数； (2)【类比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其内部有一点P．如图2，连接PA