专题18 即学即用之因式分解-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题18 即学即用之因式分解 1．阅读理解完成任务：教材第121页阅读与思考中有一种因式分解的方法叫十字相乘法，书中描述分解因式的过程如下：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如分解图），这样，我们就可以得到： 某同学看完教材没完全懂，问老师后就懂了，老师讲解如下：利用十字相乘法分解，首先分解二次项系数6，可分解为或或或，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项－3，可分解为或，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，这样就会出现16种情况（如下分解图），求代数和等于一次项系数7，符合分解的分解图有2种情况（就是方框框起的两种情况）．所以得到：或． 十字相乘法公式：（其中，a，b，c，d为常数） 阅读以上材料，完成以下任务：请用十字相乘法分解下列多项式，要求写出一种符合分解的分解图． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中方法利用十字相乘法分解因式即可； （2）根据题中方法利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：分解图如下： ∴； （2）分解图如下： ∴． 【点睛】题目主要考查因式分解，理解题目中的十字相乘法是解题关键． 2．（1） 把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法． 阅读下列有配方法分解因式的过程： 仿照上面方法，将下式因式分解；   （2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ①上述分解因式的方法是 ，共应用了 次． ②若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． ③分解因式： (n为正整数)． 【答案】（1）；（2）①提取公因式，3；②2005，；③ 【分析】（1）仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解； （2）观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，经过次提取公因式，可得． 【详解】解：（1） ； （2）①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次； 故答案为：提取公因式，3； ②若分解，则需应用上述方法2005次，结果是， 故答案为：2005，； ③由题意知： ． 【点睛】本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解． 3．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据“”分法即可得出答案； （2）根据“”分法分解因式，得出或，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． 4．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为-21． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1)另一个因式，a的值为5 (2)另一个因式为，p的值为15 【分析】（1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得b和k． （2）设另一个因式是，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m和p． 【详解】（1）解：设另一个因式为 则 ∴ 解得：， 另一个因式，a的值为5 （2）解：设另一个因式为， 得， 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，p的值为15． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 5．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． 仿照以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式． 6．阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如