第一章方法归纳专项2 构造等腰三角形的四种常用方法-【一本】2022-2023学年八年级下册数学同步PPT课件（北师大版）

初中同步训练 数 学 八年级下册 (BS版) 方法归纳专项2 构造等腰三角形的四种常用方法 证明：如图，作EG∥AB，交BC于点G， 则∠CGE＝∠ABC，∠GEF＝∠D，∠DBF＝∠EGF. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C， ∴∠C＝∠EGC，∴CE＝EG. ∵CE＝BD，∴BD＝GE， ∴△DBF≌△EGF(ASA)，∴DF＝EF. 方法1　利用平行线构造等腰三角形 1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点E，在AB的延长线上取点D，使BD＝EC，连接DE交BC于点F.求证：DF＝EF. 解：AD＝CE.证明：如图，过点D作DF∥BC， 交AB于点F，则∠ADF＝∠ACB＝60°. ∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠E. ∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形， ∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°， ∴∠BFD＝∠DCE＝180°－60°＝120°. ∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E. 在△BFD和△DCE中，∠BFD＝∠DCE，∠FDB＝∠E，BD＝DE， ∴△BFD≌△DCE，∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE. 2．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE.试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论． 证明：如图，作CD平分∠ACB，交AB于点D， 过点D作DE⊥BC于点E. ∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BCD， 即△DBC是等腰三角形． 又∵DE⊥BC，∴BC＝2EC.又BC＝2AC， ∴AC＝EC，∴△ACD≌△ECD， ∴∠A＝∠DEC＝90°. 方法2　利用角平分线构造等腰三角形 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°. 证明：如图，在边AC上截取AP＝AB，连接DP. ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠PAD. 又∵AD＝AD，∴△ABD≌△APD(SAS)， ∴∠APD＝∠B，PD＝BD. ∵∠B＝2∠C，∠APD＝∠PDC＋∠C， ∴∠PDC＝∠C， ∴PD＝PC，∴BD＝PC， ∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC. 方法3　利用倍角关系构造等腰三角形 4．如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C.求证：AB＋BD＝AC. 方法4　截长补短构造等腰三角形 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数． 解：如图，在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE，则CE＝AB＝AE. ∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C. ∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝2∠C＋∠C＝60°. ∴∠C＝20°. 证明：如图，延长BD到点F，使BF＝BA，连接AF，CF. ∵∠ABD＝60°， ∴△ABF为等边三角形， ∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°， ∴∠AFC＝∠ACF. 又∵∠ACD＝60°，∴∠AFB＝∠ACD， ∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC， ∴BD＋DC＝BD＋DF＝BF＝AB， 即BD＋DC＝AB. 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD.已知∠ABD＝∠ACD＝60°. 求证：BD＋DC＝AB. $