期末压轴专题1 平行四边形的探究问题-【一本】2022-2023学年八年级下册数学同步PPT课件（人教版）

初中同步训练 数 学 八年级下册 (RJ版) 压轴专题1　平行四边形的探究问题 1．如图1，P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB. (1)求证：PD＝PE； (2)求证：∠DPE＝∠ABC； (3)如图2，当四边形ABCD为正方形时，连接DE，试探究线段DE与线段BP的数量关系，并说明理由． (2)证明：设PE交CD于点F(图略)． 由(1)知△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP. ∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∴∠CDP＝∠E. 又∵∠DFP＝∠CFE， ∴180°－∠DFP－∠CDP＝180°－∠CFE－∠E， 即∠DPE＝∠DCE. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD， ∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC. 2．(1)数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的 中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F.求证：AE＝EF. 小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF. 请你写出证明过程． (2)在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“E是边BC的中点”改为“E是边BC上(除点B，C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由． (3)如图3，如果E是BC延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°.∵H，E分别是边AB，BC的中点，∴AH＝BH＝BE＝CE， ∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°. ∵CF是正方形外角∠DCG的平分线， ∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AHE＝∠ECF.∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠CEF＝90°. 又∠AEB＋∠HAE＝90°，∴∠HAE＝∠CEF， ∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF. (2)正确．证明如下： 如图，在AB 上取一点M，使AM＝CE，连接ME， ∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°. ∵CF是正方形外角∠DCG的平分线， ∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°. 同(1)可证明△AME≌△ECF，∴AE＝EF. (3)成立． 3．(2020·乐山中考)P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A，C重合)，分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，O为AC的中点． (1)如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的数量关系是__________. (2)当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． OE＝OF (3)如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系． 解：(2)补全图形如图所示，OE＝OF仍然成立．证明如下： 延长EO交CF于点G. ∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO.∵O为AC的中点，∴AO＝CO. 又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG，∴OE＝OG.∵∠GFE＝90°，∴OE＝OF. (3)如图，延长EO交FC的延长线于点H. 4．(2021·重庆开州区期末)如图，已知四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°. (1)如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，延长线段CB至点G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长； (2)如图2，若点E，F分别在边CB，DC的延长线上，求证：EF＝DF－BE； (3)如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长． 解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠D＝∠ABC＝90°. ∵AB＝AD，∠ABG＝∠D，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF. ∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°， ∴∠BAG＋∠BAE＝45°＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠EAF. 又∵AG＝AF，AE＝AE， ∴△GAE≌△FAE(SAS)， ∴EF＝GE＝BE＋BG＝4＋3＝7. (2)证明：如图，在DF上截取DM＝BE，连接AM. ∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADM＝90°，BE＝DM， ∴△ABE≌△ADM(SAS)， ∴AE＝AM，∠EAB＝