考点15 平面向量大题9种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)

考点15 平面向量大题9种常见考法归类 1、向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则； (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解； (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．　 (4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．　 2、利用向量共线定理证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． [提醒]　(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量； (2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点． 3、向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 4、求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　 　 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 5、解决向量垂直问题一般思路 解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握. 6、求向量a，b的夹角θ的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． (3)坐标法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. 注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 7、解决向量投影问题应注意以下三点 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 考点一 平面向量共线定理的应用 考点二 平面向量基本定理的应用 考点三 平面向量数量积的计算 考点四 平面向量垂直问题 考点五 平面向量的夹角问题 考点六 平面向量的模问题 考点七 平面向量的投影问题 考点八 坐标法解决向量问题 考点九 平面向量的最值范围问题 考点一 平面向量共线定理的应用 1．（2022春·陕西渭南·高一校考期末）设两个非零向量与不共线． (1)若，，求证三点共线． (2)试确定实数，使和共线． 2．（2022春·新疆哈密·高一哈密市第一中学校考期中）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值. 3．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标. 4．（2022春·四川南充·高一统考期末）已知非零向量与不共线，，，． (1)若，求λ、μ的值； (2)若A、B、C三点共线，求λ、μ应满足的关系式． 5．（2022春·山东淄博·高一统考期中）已知 是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，求 ； （2）若与共线，求的值. 6．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. （1）若，求AP的长； （2）设，，，，求的值. 考点二 平面向量基本定理的应用 7．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及． 8．（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量. 9．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 10．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）如图