拓展十：利用导数研究不等式恒（能）成立问题5种考法总结-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 拓展十：利用导数研究不等式恒（能）成立问题5种考法总结 高频考点 考点五恒或立与能城位站合 (二)分美问短.被惠军点洁 点不湾式的成立末数前国 (三)W化 老白容样志立何题 利用导数研究不等式恒( (因)室法 能)成立问题6种考法总结 专点二已灯参数范圆，亚明不等式阳 (一1的 老点三证明x)2o(x)恒感7 (二)分离成调个的国 知识梳理 策略1含参不等式恒成立问题的解题策略 在数学学习中，我们经常会遇到一类问题，那就是证明不等式恒成立或在不等式恒成立的条件下，求 其中参数的取值范围。其问题的本质就是研究函数的变化情况，研究函数值的范围。导数作为研究函数单 调性的有力武器，在这类问题中发挥了巨大的作用。 一、分离参数法 将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得出参数的 范围。 1变量与参数的确定：谁的范围已知，将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母视为参数。 2.分离参数法遵循两点原则：①已知不等式中两个字母容易进行分离：②分离参数后，己知变量的函数解析式 容易求出最值或 临界值。 3.一般地，f(x)>a恒成立，只需f(x)n>a即可：f(x)<a恒成立，只需f(x)mr<a即可。 二、函数最值法 将不等式转化为含某个待求参数的函数最值问题，先求该函数的最值，然后构建不等式求解。 注：1、对于∫(x)>g(x)恒成立，有两种理解方式，第一种是y=f(x)图像恒在y=g(x)图像上方，只 需f(x)-g(x)>0恒成立即可，可以通过构造函数求解；第二种是通过求解y=f(x)和y=g(x)的值域 范围，观 察是否有∫(x)>g(x)s,此方法称为最值比较法，但此种方法对y=f(x)和y=g(x)值域范围要求较 高，因为f(x)m>g(x)mx,只是f(x)>g(x)成立的充分条件而非必要条件，即f(x)>g(x)时未必有 f(r)mn>g(x)m成立，因而使用时需谨慎选择。 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学利购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 2、辨析f(x)≥g(x)型与∫(x)≥g(x,)型的差异： 1对x∈l,不等式f(x)≥g(x)恒成立，可转化为求函数[f(x)-g(x)]n≥0 2.对x∈l,不等式f(x)≥g(x,)恒成立，可转化为求函数f(x)mn2g(x)mr 三、分离成两个函数，数形结合 把不等式分离成两个函数，再由函数图像关系及参数几何意义得出参数范围.分离出的两个函数必须一 个是己知的，较为简单的函数，否则图像得不到.另一个带参数的函数也必须是己知的简单函数，参数的几 何意义明显才比较容易由数形结合得出参数范围.而且作为解答题，数形结合可能比较难以论述清楚， 四、分类讨论、成缩取点法 通过求参数进行分类讨论，确定函数的单调性，进一步求出最值」 策略2利用导数证明不等式问题，方法如下： (1)直接构造函数法：证明不等式f八)>gx(或f(x)<g(x))转化为证明f(x-gx)>0(或 fx)-gx)<0),进而构造辅助函数hx)=f(x-gx): (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩：二是利用常见放缩结论： (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 策略3对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围： 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问愿转化为函数的最值问题 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的 新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法， 注意恒成立与存在性问题的区别. 考点精析 考点一不等式恒成立求参数范围 (一)分离参数法 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1,(2022北京高三专题练习)已知函数fx=x3+ax2+bx+a2,当a=-1时，若对任意的xe[0,+m),都 有f(x)20恒成立求b的取值范围 2.(2021全国高三专题练习)已知函数f(x=x+ax2+br+a2,当b=-2a时，若对任意的xe[2,+0都 有f(x>a恒成立，求a的取值范围 3.(2022北京高三专题练习)已知函数f(x=x3+ax2+bx+a2,当b=9时，若对任意的xe0,+0),都 有6xnx+'(x)≥0恒成立，求a的取值范围 4.(2022秋北京房山高三北京市房