第9章 中心对称图形——平面几何之旋转——解答压轴题二　2022—2023学年苏科版数学八年级下册

平面几何之旋转（解答压轴题二） 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于点，点P在x轴上运动，连接，将沿直线折叠，点O的对应点记为． (1)求k、b的值； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)将线段绕点P顺时针旋转45°得到线段，直线与直线的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，点P是内一点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，若 且 求的面积； (3)如图3，将绕点P旋转至处，过D作，交延长线于F，若 ，直接写出的值为 ． 3．给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． (1)以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形． (2)如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到． ①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形． ②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度． 4．如图，为等腰三角形，，，点为的中点，过作于点．点为射线上一点，为线段上一点（不与点，重合），连结． (1)求，的长； (2)若，将点绕点逆时针旋转，得到点，当点落在的一边上时，求的长； (3)当点与点重合时，在线段上取点，使点、关于成轴对称，求点到的距离． 5．直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根（）．将绕原点O顺时针旋转得到，点的对应点为，连接．点E从点D出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作轴于点F，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接． (1)求点的坐标； (2)设的面积为，求S与t的关系式； (3)在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（1）如图①，是正方形内一点，连接，，． ①画出将绕点顺时针旋转得到的； ②若，，，求的长． （2）如图②，设是等边三角形内的一点，，，，则的度数是 　　． 7．已知正方形，E是射线上一动点，连接，点F在直线上，且，将绕点E顺时针旋转得到，过点C作的平行线，交射线于点H，连接． (1)如图1，当点E在中点时，重合，请判断四边形的形状并证明你的结论； (2)如图2，当点E在延长线上时，补全图形并回答下列问题： ①四边形的形状是否发生改变，请说明理由； ②连接，交于点M，若， ，请直接写出的长． 8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 9．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”． 特例感知： (1)在图2中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．如图2，当为等边三角形时，且时，的长为 　 　； 猜想论证： (2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑倍长或倍长，……） 拓展应用： (3)如图3，在四边形， ，，，以为边在四边形内部作等边，连接，，若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形中边的长． 10．在中，，，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是线段的中点，连接． (1)如图1，当点D在的延长线上时，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，当点D在的延长线上时，若点G是线段的中点，连接，求证：； (3)如图3，连接和，若，当线段取最小值时，请直接写出的面积． 11．材料阅读：图形的旋转：将图形绕一个定点旋转一定角度，这样的图形运动称为图形的旋转．旋转前后的两个图形全等． 【知识引入】 （1）如图1，已知，，，，，连接． ①求证：； ②求的长． 【简单应用】 （2）如图2，在中，，，．若点D满足，且，请直接写出的长 【深入探究】 如图3，在平面直角坐标系中，已知，． （3）如图3，若点C在第一象限，，求证：； （4）如图4，若点C在第二象限，，，，则_____； 12．阅读：旋转具有丰富的性质，我们常常可以借助旋转解决问题． (1)如图①，点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形，可以看作绕点________，________时针旋转__