3.1&3.2 指数幂的拓展&指数幂的运算性质-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第三章 〉指数运算与指数函数 §1指数幂的拓展§2指数幂的运算性质 高考要求学业标准·考情分祈 一考点分布 一学科素养 一学法子引 第 1.通过对有理指数幂、实数 本讲的学习重点是根式与分数指数幂的概念及 指数幂含义的认识，了解 性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同 指数幂的拓展过程.（★ 数学运算 时也是简化计算的一个方面.指数计算是一项基本功， ★★) 数学抽象 包括化简、计算和指数的恒等式证明等.这要求学生能 2.掌握指数幂的运算性质。 灵活运用根式的概念和指数幂的运算性质。 (★★★★) 第 四 考点分类考点透析·终例析 考点1 指数幂的拓展 ·核心总结 五章 难点突破” 1.从正整数指数幂到有理数指数幂 1,a可不可以理解为四 幂指数 定义 底数的取值范围 个a相乘？它的实质是什么？ 正整数 d"=4·a·…·a(n∈N) 第 a∈R 。不可以理解为册个a 七 指数幂 n个 零指数幂 a°-1 a≠0，且a∈R 相乘.如a显然不能记为半 模 负整数 个a的乘积，它的实质是根式 指数幂 (nEN) a≠0，且a∈R 的另一种写法，如a=a ava" n为奇数 正分数 a∈R (a>0). 指数幂 (m,n∈N,>1, 2.在应用分数指数暴的 且m,n互素) n为偶数 a≥0 定义时，必须特别注意该定义 的应用范围（即定义的条件）， 负分数 va ”为奇数 a≠0，且a∈R (1)底致4必须是正实 指数幂 (m,n∈N”,n>1, ”为偶数 a>0 数，即a>0. 且m,n互素) (2)a及a*中的m,n 2.无理数指数幂 均为正整数且n>1, (1)无理数指数幂通常用近似逼近的方法转化为有理数指 3.为什么要规定α>0？ 数幂，即用无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值不断逼近 当指数概念扩充到有理 无理数指数幂的准确值.具体方法是：先取无理数指数的两种 数，且a≤0时，4有时有意 143 /考点同步解读)高中效学必修第一册BSD乡 近似值，不足近似值和过剩近似值，然后计算无理数指数幂的 义，有时无意义.如（一1） 不足近似值和过剩近似值，这两个值可以无限逼近一个实数 一1=一1，但（一1）就不是 a(a>0,a是无理数) 实数了，所以为了保证在”取 (2a=a>0a是无理数 任何有理数时：都有意义， 规定a>0. ⊙考题面(2022，苏州中学单元测试)下列关系式中，根式与 4在这种规定下，a+= 分数指数幂的互化正确的是 (填序号). 是六旅式与分点智数 ①-√x=(-x)(x>0):②=y(y<0):③xt= 幂表示相同意义的量，只是书 (x>0):④x寸=-x(x≠0)：⑤Waa=a(a>0). 写形式不同罢了， 山规律总结… 解析 序号正误 原因 1.在解决根式与分数指 第 ① √/x=-xt(x>0) 数暴互化的问题时，应熟记根 式与分数指数幂的互化公式： 1 第四章 ② 当y<0时，>0，y<0 a=a,a*=↓ 其中字母a的取值要使式子 第五金 有意义 2.根式与分数指数暴互 ④ 化的规律 查 (1)根指数化为分数指 ⑤ Wava=√a·at=Wai=a1(a>0) 数的分母，被开方数（式）的指 数化为分数指数的分子 答案③⑤. (2)在具体计算时，通常 模 ⊙变式11(2022，东北师大附中高一测试)下列关系式中， 会把根式转化成分鲛指数暴 根式与分数指数幂互化正确的是( 的形式，然后利用有理数指数 A.Ya.a--ai B.x=√ 幂的运算性质解题. C.()= D.(a-b)t=√(a-b)雨 考点2 实数指数幂的运算性质及其应用 ·核心总结。 难点突艰… 1.正整数指数幂的运算性质 对无理数指数幂的理解 (1)a·a"=am+"(a>0,b>0,m,n∈N,下同)： 有了有理数指数暴与无 理数指数幂，幂的运算就扩充 (2)a"÷a"=am"(m>n):(3)(a")"=am: 到了实数范围内，而暴的运算 (4(ab)=a·br;(6)(8)广=g 性质对任何实数的指数暴都 是成立的 144 第三章〉指教运算与粉教函数 2.有理数指数幂的运算性质 山规律总结… 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数 1.进行暴的运算时，首先 将根式化成分数指数幂的形 推广到了有理数指数，即有理数指数幂.有理数指数幂的运算性 式，将负指数化成正指数，将小 质与整数指数幂的运算性质一样，仅仅只是指数范围扩充了， 数化成分数，将带分效化成假 (1)a·a'=at(a>0,r,s∈Q): 分数，将较大底数化成较小底 (2)(a)=a(a>0,r,s∈Q): 数的幂，然后利用幂的运算性 (3)(ab)/=a·(a>0,b>0,r∈Q). 质在系数、同底数幂间进行运 3.一般地，无理数指数幂a(a>0,