2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二章>函效儿 §4函数的奇偶性与简单的幂函数 高考要求学业标准·莉的分祈 一考点分布 一学科素养· 一学法导引· 1.结合具体的函数，了解奇 1.函数的奇偶性是函数的重要性质，应重点理 偶性的概念和几何意义. 解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法， (★★) 理解并学会运用奇（偶）函数图象的对称性研究函数 的性质. 2.通过具体实例，结合y 数学抽象 2.幂函数的图象特征及性质与参数α密切相 云y=xy=元， 直观想象 关，其定义域、值域可能会因为α取值的不同而不 y=x的图象，理解它们 同：幂函数在第一象限内总有图象，而在第四象限内 的变化规律，了解幂函数 永远不会有图象，这是因为幂的运算性质一正数 (★★★) 的任何次幂均为正数。 四 考点分类考点透析·典例创祈 考点1 函数的奇偶性及其判断 五章 ·核心总结 难点突破+ 第 1.函数奇偶性的定义 1.奇偶性定义中的“任 偶函数 奇函数 意”两字可以省略吗？ 第 设函数f(x)的定义域为A,如设函数f(x)的定义域为A, 不能省略.如函数y= 果对任意的x∈A,都有一x∈ 如果对任意的x∈A,都有一 x2,x∈[-2,3]，有f(-2) 定义 A,且f(-x)=f(x),那么函 ∈A,且f(一x)=一f(x),那 4=f(2),f(-1)=1=f(1). 块 数f(x)就叫作偶函数 么函数f(x)就叫作奇函数 但不能因此就说函数y=x, 定义域 关于原点对称 关于原点对称 x∈[-一2,3]是偶函数，因为 [注意]当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇 f(一3)是没有定义的.从这个 偶性 意义上来说，“任意”两字实划 强调的是西数的定义域一定 2.函数按奇偶性分类 要关于原点对称，这个条件是 函数按奇偶性可分为奇函数（如y=x,y=x3)、偶函数（如 y=x)、既是奇函数又是偶函数（如f(x)=0,x∈R)、非奇非 必不可少的.因此在讨论一个 函数的奇偶性之前，要先探讨 偶函数（如y=3x+2).特别地，如果常数函数的函数值不为 函数的定义城 0,那么该函数是偶函数 2.函数的奇偶性与单调 ⊙考题)(2021，东北师大附中单元测试)下列叙述中正确 性的差异 的是( ). 函数的奇偶性是相对于 121 /考点同步解读》高中放学必修第一册BSL乡 A.若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它是奇函数 函数的定义域来说的，这一点 B.若函数f(x)是偶函数，则它的定义域关于原点对称 与研究函数的单调性不同，从 C.偶函数的图象一定与x轴相交，奇函数的图象一定通过原点 这个意义上来说，函数的单调 D.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R) 性是西数的“局部”性质，而西 解析只有当函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(一x) 数的奇偶性是函数的“整体” 性质，只有对函数的定义城内 一f(x)时，函数f(x)才是奇函数，因此A是错误的. 每一个x,都有f(一x)=f(x) 函数的定义域关于原，点对称是函数具有奇偶性的前提条件， (或f(一x)=一fx),才能就 第 因此B是正确的。 函数是偶函数（或奇函数）. 奇（偶）函数的定义域必须关于原，点对称，但f(x)在x=0处 山规律总结 不一定有意义，如y=x”与y=x1,它们分别是偶函数和奇函数， 根据定义判断函数 第二章 但当x=0时都无意义，故C错误， 奇偶性的步骤 对于函数f(x)=√一1十√1一x,定义域为{一1,1}，关于原 否于原 所不光舟数也不 1是偶品教 三章 点对称，且f(一1)=士f(1),所以该函数既是奇函数又是偶函数， 点对愁 故D错误.特别说明：对于f(x)=0,在满足其定义域关于原，点对 断)是答￥于 第四章 称时，既是奇函数又是偶函数 土x足香平于0 答率B 民x是舌有奇保性 第五章 @变式1(2022，荆州中学月考)对于定义在R上的函数 f(x),下列说法中正确的是 ②方法梳理， ①若f(x)是偶函数，则f(一2)=f(2): 鑫 判断函数奇偶性的首要 ②若f(一2)=f(2),则函数f(x)是偶函数： 考虑条件是函数的定义域是 第七童 ③若f(一2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数； 否关于原点对称，若函数的定 ④若f(一2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数 义城战不关于原点对称，即可判 ©考题2判断下列函数的奇偶性： 定该函数既不是奇函数也不 块 (1)f(x)=x4+2x2+3. (2)f(x)=|.x-1-x+1. 是偶函数；若函数的定义城关 4-x 于原点对称，可用以下方法判 (3fx)=x+2-2 (4)f(x)=(x-2)· 2+x V2-x 断函数的奇偶性。 (5)f(x)=√x-1+√1-x 1.定义法 对于函数定义城内的任 解掘(1)函