2.3 函数的单调性和最值-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二章>函敦儿 §3函数的单调性和最值 高考要求学业标准·考站分祈 一考点分布 学科素养· 一学法导引· 1.借助函数的图象，会用符 号语言表达函数的单调 1.函数的单调性是函数的一个重要性质. 性，理解它的作用和实际 2.判断函数的单调性或单调区间时，可以结合 意义.（★★★★） 函数的图象进行判断，对于一般函数需用单调性的 数学运算 定义加以证明. 数学抽象 2.借助函数的图像，会用符 3.单调性的应用表现在两个方面：①根据白变 号语言表达函数的最大 量的大小关系得到函数值的大小关系：②根据函数 值、最小值，理解它的作 值的大小关系得到自变量的大小关系. 用和实际意义.（★★★） 第 考点分类】考点透析·典例创祈 童 考点1 函数单调性的判断与证明 五章 一核心总结 女难点突破 名称 定义 图形表示 几何意义 1.所有的函数都具有单 设函数f(x)的定义域是D: 调性吗？ 如果对于任意的，∈D 并非所有的函数都具 第 当<时，都有f(1) 函数f(x) 有单调性.如函数f(x) 增 y=./ f(),那么就称函数y .x) 的图象在D 1,x为有理数， 数 f(.x)是增函数特别地，当I /.x 上从左到右 它的定义城 块 0,x为无理数， 是定义域D上的一个区间 是上升的 为R,但不具有单调性， 时，也称函数y=f(x)在区 2.函数单调性的定义中 间1上单调递增 有三个核心，例如在增函数定 设函数f(x)的定义域是D: 义中： 如果对于任意的，.x2∈D, ①x1<x:②f(x1)< 当无<x时，都有f()> 函数∫(x) f():③函数f(x)为增函数 f(x),那么就称函数y y-fr) 的图象在D 函 若，心，2满足任意性，那 f(x)是减函数.特别地，当1 /x) 上从左到右 么以①②③中任意两个作为 是定义域D上的一个区间 是下降的 条件，能不能推出第三个？ 时，也称函数y=f(x)在区 这是可以的，所以有下面 间I上单调递减 三个结论成立： 107 考点同步解读〉高中效学必修第一册BSLD色 ⊙考题面(2022，杭州二中单元测试)若函数∫(x)的定义域 x1t2· →f(x) 为(0，十∞)，且满足f1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0，十o∞) f(x1)f(x2) 上( 人 是增函数： A.是增函数 B.是减函数 , →f()< f(x)为增函数 C.先增后减 D.单调性不能确定 f): 解祈 选项正误 原因 f()<f(). →<x2 × f(x)为增函数 A 第 函数单调性的定义突出了1,2的任意性， 对于减函数也有类似的 女 × 仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为 结论，显然，x:也要满足任 判断单调性的依据 C 意性 海解凝释惑… D 单调性定义的三个特征缺一不可 函数的单调性是函数在某个 第 答案D 区间上的性质 ©变式1(2022，烟台高一联考)下列说法中正确的个数 1,这个区间可以是整个定 第四章 为( 义城 ①定义在(a,b)上的函数f(x),如果有无穷多个x1,x2∈(a, 例如，y=x在整个定义域 第五章 b),当<x2时，有f(x)<f(x2),那么f(.x)在(a,b)上为增 (一o∞，十∞)上是增函数，y 一x在整个定义城（一∞，十∞） 函数： 上是减函数 第六童 ②如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调 2.这个区间也可以是定 递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定单调递减： 义城的真子集 第七章 ③对任意的∈(，b),且≠，当f）二f）<0 例如，y=x2在定义城 x1一x2 (一0，十o)上不具有单调 时，f(x)在(a,b)上是减函数： 性，但在（一∞，0]上单调递 模 ④对任意的x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当(x1一x2)[f(x1) 减，在[0，十○)上单调递增. f(x2)]>0时，f(x)在(a,b)上是增函数. 3.有的函数不具有单调性 A.1 B.2 C.3 D.4 例如，y=x+1,x∈Z,它 ⊙考题2(2022，南昌一中单元测试)求证：函数f(.x)= 的定义域不是区间，也不能说 x3十x在R上是增函数 它在定义城上具有单调性， 证明任取，2∈R,且<x,则x2一>0， ②方法梳理… f(x2）-f(x1)=(x2十x2)-(x+x1） 函数单调性的证明方法 =(2-x1)(x十x2x1十x)+(x2一x1） 利用定义证明函数f(x) =(x2-x1)(x+x2x1+x+1) 在给定的区间D上的单调性 的一般步骤： =(w-[（(+受)°++ (1)取值：任取x,∈ D,且x<x (+号)°++1>0w->0. (2)作差：fx)一f). 108 第三章>函效/ .f(x2)-f(x1)>0,即f(x2>f