第二章 专题3 利用勾股定理逆定理证垂直-【课课帮培优版】2022-2023学年八年级下册初二数学专题训练（人教版）

学习之星 让学习变得更简单 学习之星他中与中出。之城好纺身装 专题3利用勾股定理逆定理证垂直 金整试做经典好驱你来挑战 答案见154页 例 如图，P是等边△ABC内部的一点，连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ, 连接CQ. (1)观察并猜想线段AP与CQ之间的大小关系，并说明理由： (2)若PA=3,PB=4,PC=5,连接PQ,判断△PQC的形状，并说明理由. (例题图) 名帅点丽●巧妙点拨患维养成 【解题要点】 (1)根据等边三角形的性质及∠PBQ=60,BP=BQ得出△ABP和△CBQ全等，从而得出答案： (2)根据BP=BQ.∠PBQ=60°得出△PBQ是等边三角形，然后根据PQ+QC2=PC得出△PQC为 直角三角形. 对点集训●举一反三吃透考点 答案见154页 1.(2021枣阳卿米改编)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号和“海天”号两艘轮船同时离开 港口，各自沿固定的方向航行.已知“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行I2 n mile,它 们离开港口2h后分别位于点Q,R处，且相距40 n mile,若“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天” 号沿 方向航行 海天 (1题图) 14八年级下册R 学习之星明星产品《课踝帮】 学习之星让学习变得更简单 课课帮培优版初中数学 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,P是△ABC内一点，且PA=3,PB=1,PC=CD=2, CD⊥CP于点C,求∠BPC的度数. (2题图) 3.(1)如图1，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转 90至△ACF,作AE平分∠DAF交BC于点E,连接EF,易证BD十CE=DE.若DE= √2BD,则以BD,DE,EC为边的三角形的形状是 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,若四边形ABCD的面积为32， CD=2,求BC的长： (3)若△ABC是以BC为底的等腰直角三角形，D是△ABC所在平面内一点，且满足AD=4,BD=6, CD=2,请画出图形，并求∠ADC的度数. (3题图1) (3题图2) 八年级下册RJ 15 学习之星明星产品《课踝帮】学习之星 让学习变得更简单 学习之星妮停多序思角，芝纯科医列头 解得r= 即BP的长为婴 专题3利用勾股定理逆定理证垂直 (2)分两种情况： 金题试做 ①当点Q在线段AB上时.如图L. 解：(1)AP=CQ.理由如下： 根据翻折的性质，得∠CQB=∠CQB',B'C=BC=8, ,△ABC是等边三角形.∴.AB=CB,∠ABC=60° BQ=B'Q,∠CB'Q=∠B=90. :∠PBQ=60, .∠CB'D=90°. ∴.∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC. :四边形ABCD是长方形，.CD∥AB. .∠ABP=∠CBQ. .∠DCQ=∠CQB. 又BP=BQ,.△ABP≌△CBQ .∠DCQ=∠CQD..QD=CD=10. ∴AP=CQ. 在Rt△CBD中，根据勾股定理，得 (2)△PQC是直角三角形.理由如下： DB'=√CD-B'C=10-8=6. ,BP=BQ,∠PBQ=60°， ∴.BQ=B'Q=QD-DB'=10-6=4. .△PBQ是等边三角形.∴PQ=PB=4. AP=CQ,AP=3,∴.CQ=3. PC=5,∴.PQ+CQ=4+32-25-PC. ∴，△PQC是直角三角形. 对点集训 1.北偏西40 (10题图1) 2.解：如图，连接BD. ②若点Q在BA的延长线上时，如图2. ,CD⊥CP,∴.∠PCD=90°..∠BCP+∠BCD=9o. 根据翻折的性质，得BQ=B'Q,B'C=BC=8, CD=CP=2. ∠B'=∠B=90°. ,△CPD为等腰直角三角形..∠CPD=45°. 在Rt△DB'C中，根据勾股定理，得 :∠ACB=90°. DB'=CD-B'C=√10-8=6. .∠ACP+∠BCP=∠BCP+∠BCD. 设BQ=B'Q=x,则DQ=x-6,AQ=x-10. .∠ACP=∠BCD. ,四边形ABCD是长方形，∴∠BAD=90°. 又AC=BC,.△CAP≌△CBD(SAS). .PA=DB=3. .∠DAQ=90°. 在Rt△CPD中，根据勾股定理， 在R1△ADQ中，根据勾股定理，AD+AQ=DQ DP2=PC2+CD=2+22=8. ∴.8+(x-10)=(.x-6) PB=1,∴.DP2+PB=8+1=9 解得x=16,即BQ=16. DB=3..DB2=DP+PB. .△DPB为直角三角形，且∠DPB=90 ∴.∠BPC=∠CPD+∠DPB=45+90°=135. (10题