热点07 圆的相关计算-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）

2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用） 热点07 圆的相关计算 热点知识01：点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 热点知识02：圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 （3）垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 热点知识03：圆周角和圆心角 四、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 3．一个四边形的4个顶点都在同一个